Доказать, что $%n^{2018}-1,\quad n\in\mathbb{N}$% не может быть степенью (с натуральным показателем) числа 18.

задан 18 Июн 22:09

10|600 символов нужно символов осталось
4

Опишу только идею. $%n^{1009}-1=2^p3^q; \; n^{1009}+1=2^r3^s$% Отсюда $%2^r3^s-2^p3^q=2$% Отсюда либо $%p=1; s=0; 2^{r-1}-3^q=1$% либо $%r=1; q=0; 3^s-2^{p-1}=1$% . Если первое уравнение рассмотреть по модулю 3, то увидим, что $%r-1$% четное. Если второе уравнение рассмотреть по модулю 4 при $%p-1 \ge 2$%, то увидим, что $%s$% четное. В обеих случаях мы получим, что число (2 либо 3) в четной степени минус единичка равняется другом числу в какой-то степени. Там, где минус единичка разложим на множители. А дальше решаются такие уравнения.

ссылка

отвечен 19 Июн 0:24

изменен 19 Июн 0:25

1

По-моему, это полное и исчерпывающее решение, поскольку разница 1 между степенью 2 и 3 наблюдает только в хорошо известных случаях (2-1, 3-2, 4-3, 9-8). На форуме это во многих задачах было.

Условие задачи было бы интереснее, если заменить n^{1009} на что-то попроще.

(19 Июн 2:25) falcao

@Witold2357, большое спасибо!

(19 Июн 23:37) Казвертеночка

@falcao, на что попроще, например?

(19 Июн 23:37) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: например, на квадрат -- с нахождением всех решений.

(19 Июн 23:57) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×635
×179
×137
×70

задан
18 Июн 22:09

показан
65 раз

обновлен
19 Июн 23:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru