геометрия - Поворот квадратов

Если сделать рисунок, то становится ясно следующее: пересечением квадратов будет восьмиугольник, имеющий как центр симметрии, так и несколько осей симметрии, проходящих через этот центр.

Если обозначить квадрат через $%ABCD$% (буквы идут против часовой стрелки) и повернуть его на 30 градусов против часовой стрелки, и повёрнутый квадрат обозначить через $%A_1B_1C_1D_1$%, то одной из осей симметрии будет прямая $%KL$%, где $%K$% -- точка пересечения отрезков $%AB$% и $%A_1B_1$%, а $%L$% -- симметричная её относительно центра точка пересечения отрезков $%CD$% и $%C_1D_1$%. Помимо восьмиугольника, площадь которого надо найти, на рисунке возникают ещё восемь треугольников, которые равны между собой. Их равенство легко усматривается из соображений симметрии. Все они -- прямоугольные, с острым углом в 30 градусов. От квадрата $%ABCD$% отрезается четыре таких треугольника из восьми, поэтому задача сводится к нахождению площади одного из треугольников (любого).

Рассмотрим с этой целью треугольник $%KMA_1$%, где $%M$% -- точка пересечения $%AB$% и $%A_1D_1$%. Пусть $%x$% -- длина меньшего из катетов, лежащего против угла в 30 градусов, то есть $%x=A_1M$%. Тогда гипотенуза вдвое длиннее: $%MK=2x$%, а другой катет равен $%A_1K=x\sqrt3$%. Сторона $%AB$% разбита на три отрезка: $%AM=A_1M=x$%, $%MK=2x$% и $%KB=A_1K=x\sqrt3$% (равенства следуют из соображений симметрии), и в итоге мы получаем равенство $%a=AB=AM+MK+KB=x(3+\sqrt3)$%. Из него выражаем $%x$%.

Площадь треугольника $%KMA_1$%, как и всех остальных равных ему, составляет $%x^2\sqrt3/2$%. Как уже было сказано, надо из площади квадрата вычесть учетверённую площадь такого треугольника, получая $%a^2-2x^2\sqrt3$%. После несложных преобразований приходим к ответу $$2\left(1-\frac{\sqrt3}3\right)a^2.$$

Это чуть больше $%84\%$% от площади квадрата. Можно доказать, что если бы вместо угла в $%30$% градусов был дан острый угол $%\alpha$%, то ответом было бы $%2a^2/(1+\cos\alpha+\sin\alpha)$%.