После совмещений двух квадратов со стороной a, один из них повёрнут относительно их общего центра симметрии на 30 градусов. Как найти площадь полученной их пересечением фигуры?

задан 11 Апр '13 17:18

Хотел предложить свое решение, но какие-то сбои в загрузке изображений в редакторе этого форума.

(11 Апр '13 18:46) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Если сделать рисунок, то становится ясно следующее: пересечением квадратов будет восьмиугольник, имеющий как центр симметрии, так и несколько осей симметрии, проходящих через этот центр.

Если обозначить квадрат через $%ABCD$% (буквы идут против часовой стрелки) и повернуть его на 30 градусов против часовой стрелки, и повёрнутый квадрат обозначить через $%A_1B_1C_1D_1$%, то одной из осей симметрии будет прямая $%KL$%, где $%K$% -- точка пересечения отрезков $%AB$% и $%A_1B_1$%, а $%L$% -- симметричная её относительно центра точка пересечения отрезков $%CD$% и $%C_1D_1$%. Помимо восьмиугольника, площадь которого надо найти, на рисунке возникают ещё восемь треугольников, которые равны между собой. Их равенство легко усматривается из соображений симметрии. Все они -- прямоугольные, с острым углом в 30 градусов. От квадрата $%ABCD$% отрезается четыре таких треугольника из восьми, поэтому задача сводится к нахождению площади одного из треугольников (любого).

Рассмотрим с этой целью треугольник $%KMA_1$%, где $%M$% -- точка пересечения $%AB$% и $%A_1D_1$%. Пусть $%x$% -- длина меньшего из катетов, лежащего против угла в 30 градусов, то есть $%x=A_1M$%. Тогда гипотенуза вдвое длиннее: $%MK=2x$%, а другой катет равен $%A_1K=x\sqrt3$%. Сторона $%AB$% разбита на три отрезка: $%AM=A_1M=x$%, $%MK=2x$% и $%KB=A_1K=x\sqrt3$% (равенства следуют из соображений симметрии), и в итоге мы получаем равенство $%a=AB=AM+MK+KB=x(3+\sqrt3)$%. Из него выражаем $%x$%.

Площадь треугольника $%KMA_1$%, как и всех остальных равных ему, составляет $%x^2\sqrt3/2$%. Как уже было сказано, надо из площади квадрата вычесть учетверённую площадь такого треугольника, получая $%a^2-2x^2\sqrt3$%. После несложных преобразований приходим к ответу $$2\left(1-\frac{\sqrt3}3\right)a^2.$$

Это чуть больше $%84\%$% от площади квадрата. Можно доказать, что если бы вместо угла в $%30$% градусов был дан острый угол $%\alpha$%, то ответом было бы $%2a^2/(1+\cos\alpha+\sin\alpha)$%.

ссылка

отвечен 11 Апр '13 18:40

10|600 символов нужно символов осталось
0

alt text

$$x+x\sqrt{3}+2x=a\Rightarrow x=\frac{a}{1+\sqrt{3}+2}=\frac{a}{3+\sqrt{3}}.$$ $$ S=a^2-2\cdot\frac{a}{3+\sqrt{3}}\cdot\frac{a\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}=...$$

ссылка

отвечен 12 Апр '13 13:22

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,396

задан
11 Апр '13 17:18

показан
6891 раз

обновлен
12 Апр '13 13:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru