геометрия - Как найти отрезки АО и ОB?

С дополнительным условием перпендикулярности биссектрисы всё просто. Отразим точку $%B$% симметрично относительно прямой $%CO$%. Пусть эта точка перешла в $%B'$%, и пусть $%E$% -- точка пересечения прямых $%BB'$% и $%CO$%. Опуская из точки $%A$% перпендикуляр на $%BB'$%, мы заключаем, что $%BE=r+d\sin\alpha$%. Далее, легко заметить, что точки $%A$%, $%O$%, $%B'$% лежат на одной прямой. Это следует из того, что угол $%AOB'$% состоит из двух равных углов, на которые биссектриса делит угол $%AOB$%, и из двух равных (потому что симметричных) углов $%BOE$%, $%B'OE$%. Используя то, что биссектриса перпендикулярна $%CO$%, выводим отсюда, что угол $%AOB'$% равен 180 градусам.

Для отрезков $%AO$%, $%BO$% нам известно, во-первых, их отношение, которое из соображений подобия треугольников $%AOC$%, $%B'OE$% равно $%r:(r+d\sin\alpha)$%, а во-вторых, мы легко можем найти их сумму. Если использовать тот перпендикуляр, который мы опускали из точки $%A$% (никак его, правда, не обозначая), то у нас возникает прямоугольный треугольник с катетами $%d\cos\alpha$% и $%r+B'E=2r+d\sin\alpha$%, гипотенуза которого как раз равна $%AB'=AO+BO$%. После чего, зная отношение и сумму двух величин, находим сами эти величины.