Доказать что множество {$% x: \sum_{k=1}^\infty x_k=0$%} замкнуто и нигде не плотно в $% l_1$% и всюду плотно в $%l_2$%

задан 22 Июн '18 12:10

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Обозначим множество через $%M\subset l_1$% и докажем его замкнутость. Члены последовательностей будем обозначать в виде функциональной записи, то есть как $%x(k)$%. Нижние индексы будут использованы для нумерации самих последовательностей.

Пусть $%x_n\to x$% в норме пространства $%l_1$% при $%n\to\infty$%, где все $%x_n$% принадлежат $%M$%. Докажем, что $%x\in M$%. Для любого $%\varepsilon > 0$% рассмотрим такое $%n$%, при котором $%\|x_n-x\| < \frac{\varepsilon}2$%. По условию, $%\sum\limits_{k=1}^{\infty}x_n(k)=0$%. Поэтому существует такое $%m_0$%, что при всех $%m\ge k_0$% имеет место неравенство $%|\sum\limits_{k=1}^mx_n(k)| < \frac{\varepsilon}2$%. Тогда $%|\sum\limits_{k=1}^mx(k)|=|\sum\limits_{k=1}^m(x(k)-x_n(k))+\sum\limits_{k=1}^mx_n(k)|\le\|x-x_n\|+|\sum\limits_{k=1}^mx_n(k)| < \varepsilon$% при всех $%m\ge0$%, а это и означает, что $%x\in M$%.

Теперь докажем, что $%M$% нигде не плотно. Рассмотрим произвольный открытый шар. Найдём в нём точку из дополнения $%M$%. Он имеется, так как если центр шара не подходит, то изменим первую координату последовательности на малую величину. Теперь осталось воспользоваться тем, что дополнение $%M$% открыто, получая открытый шар некоторого радиуса, содержащийся в изначальном, не имеющий с $%M$% общих точек.

2) Пусть $%x\in l_2$%. Найдём вблизи $%x$% некоторую финитную последовательность с нулевой суммой координат. Она будет принадлежать $%M$%. Фиксируем $%\varepsilon > 0$% и берём сходящийся ряд $%\sum\limits_{k=1}^{\infty}x(k)^2$%. Находим такое $%n$%, для которого $%\sum\limits_{k=n+1}^{\infty}x(k)^2 < (\frac{\varepsilon}2)^2$%. Полагаем $%s=x(1)+\cdots+x(n)$%, и строим финитную последовательность, у которой первые $%n$% членов равны $%x(1)$%, ... , $%x(n)$%, далее идут $%m$% одинаковых членов, каждый из которых равен $%-\frac{s}m$%, и за ними следуют нули. Получается последовательность $%y\in l_2\cap M$% в силу финитности. Проверим, что при достаточно большом $%m$% будет иметь место неравенство $%\|x-y\| < \varepsilon$%.

Ввиду того, что $%n$% первых членов у $%x$% и $%y$% одинаковые, их можно отбросить при оценке нормы разности. Тогда норму разности оцениваем сверху суммой норм "усечённых" последовательностей. Одно слагаемое будет меньше $%\frac{\varepsilon}2$% по построению, а другое будет равно $%\frac{|s|}{\sqrt{m}}$%, что меньше той же величины при $%m > 4\frac{s^2}{\varepsilon^2}$%, что завершает доказательство.

Мне оба пункта задачи показались весьма симпатичными.

ссылка

отвечен 23 Июн '18 17:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×417
×33

задан
22 Июн '18 12:10

показан
295 раз

обновлен
23 Июн '18 17:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru