Существуют ли 6 последовательных натуральных чисел, каждое из которых можно изменить (увеличить или уменьшить) на 2 таким образом, чтобы произведение шести полученных в результате чисел равнялось произведению шести исходных чисел?

задан 23 Июн 21:38

изменен 23 Июн 23:12

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


2.6k29

1

"Цивилизованного" решения пока не придумал, хотя оно должно быть. Но на компьютере просчитал все 64 случая, рассматривая разность n(n+1)...(n+5) и изменённого произведения. Получаются многочлены 5-й степени, не имеющие натуральных корней :)

(24 Июн 4:07) falcao

@falcao, пока спасибо, жду цивилизованного решения.

(24 Июн 11:57) Казвертеночка
2

@Казвертеночка: а оно имеется в наличии? Если да, то имеет смысл поискать. Я тут несколько разных идей перепробовал, но везде возникает пока необходимость перебора.

(24 Июн 12:48) falcao

Среди шести последовательных натуральных чисел ровно три нечётных, причём их остатки при делении на 4 могут быть либо 1, 3, 1 (назовём это зелёным случаем), либо 3, 1, 3 (а этот случай пусть будет сливочно-белым). При изменении каждого из шести чисел на 2 зелёный случай меняется на сливочно-белый, и наоборот. Но в зелёном случае у нас произведение всех трёх нечётных чисел даёт остаток 3 при делении на 4, а в сливочно-белом случае - остаток 1.

Только вот у нас ведь есть ещё три чётных числа! Они-то всё решение и портят. Пожалуйста, помогите разобраться. Заранее благодарю.

(30 Июн 12:27) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: соображения типа рассмотрения остатков я пробовал. Также рассматривал степени двойки, на которые делится произведение в одном и в другом случае. Короткое решение на основе каких-то простых инвариантов придумать не удалось. Думаю, возможен такой путь: три числа должны увеличиться, три уменьшиться (в остальных случаях равенства нет). Этих вариантов не очень много, и там часть общих множителей сокращается. После этого возникает уравнение, про которое надо проверять, что у него нет натуральных корней.

(30 Июн 17:27) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×635
×142
×21

задан
23 Июн 21:38

показан
108 раз

обновлен
30 Июн 17:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru