0
1

Пусть $%T:\mathbb C^2\to \mathbb C^2$% линейный оператор с определителем $%a+bi$%. Доказать, что определитель этого оператора как линейного относительно $%\mathbb R$% равен $%a^2+b^2$%

$$\begin{bmatrix}x_1&-x_2&z_1&-z_2\\x_2&x_1&z_2&z_1\\y_1&-y_2&w_1&-w_2\\y_2&y_1&w_2&w_1\end{bmatrix}$$

задан 27 Июн 1:05

изменен 27 Июн 3:13

Там надо выбрать стандартный базис (чтобы было проще считать), то есть (1,0), (0,1) над C. Тогда над R будут векторы (1,0), (i,0), (0,1), (0,i). Надо ввести обозначения для матрицы оператора, а потом всё расписать для базиса над R. Выписывать это всё в деталях как-то нет охоты. Потом должно само получиться то, что нужно. Может, есть и какой-то способ попроще.

(27 Июн 2:57) falcao

Я так же делал, получилась матрица, которую я добавил в условие. Есть ли способ ее определитель вычислить просто? Или увидеть, что она равен $%a^2+b^2$%, где $%a+bi$% - определитель матрицы x z // y w (по строкам)

(27 Июн 3:12) Slater

Там можно всё в явном виде расписать и убедиться в справедливости тождества, но это плохо. Видимо, надо всё-таки искать обходной путь. Типа сведения к диагонализируемому случаю, а потом -- предельный переход. Но должен, вероятно, быть и геометрический смысл.

(27 Июн 3:28) falcao

Да, вручную я уже всё расписал, и всё получилось. Теперь интересно, как без рук делать.

Для упрощение вычислений, наверное, можно считать, что матрицы в ЖНФ, и тогда $%y=y_1=y_2=0, z_1=1,z_2=0$%

(27 Июн 3:33) Slater

@Slater: тогда проще диагональный вид рассматривать. К нему всё сводится малым шевелением коэффициентов.

(27 Июн 4:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Тут, наверное, проще всего рассуждать тем способом, который был намечен выше.

Если матрица диагонализируема, то имеется прямая сумма двух одномерных пространств, а каждом из которых происходит умножение на некоторое комплексное число z=re^{iф}. Это композиция поворота на угол ф и растяжения с коэффициентом r. Определитель вещественного преобразования равен r^2, что очевидно. То есть это квадрат модуля z. Поскольку у нас прямая сумма, то числа на диагонали перемножатся, и определитель вещественного преобразования будет равен квадратц модуля произведения.

В общем случае используем предельный переход. Для этого достаточно произвольную матрицу представить в виде предела диагонализируемых, что всегда возможно: если собственные числа равны, то одно изменяем на eps, и корни становятся различными.

ссылка

отвечен 27 Июн 23:10

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×999

задан
27 Июн 1:05

показан
102 раза

обновлен
27 Июн 23:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru