теория-групп - Обратный элемент в группе

Пусть даны группы $%A$% и $%B$%, где $%B$% действует на $%A$% автоморфизмами. Удобно в виде $%a^b$% обозначать результат действия на $%a$% автоморфизмом, задаваемым $%b\in A$%. Тогда вся информация о полупрямом произведении содержится в следующей простой формуле: $%b^{-1}ab=a^b$%.

Вместо пары $%(b,a)$% удобно также писать $%ba$% (от одного вида обозначений к другому легко перейти). Пусть $%(\beta,\alpha)=(b,a)^{-1}$%. Тогда $%(b,a)(\beta,\alpha)=(1,1)$%, то есть $%ba\beta\alpha=1$%. Это значит, что $%b\beta a^{\beta}\alpha=1$%, откуда $%\beta=b^{-1}$% и $%\alpha=(a^{\beta})^{-1}=(a^{b^{-1}})^{-1}$%, что удобно записать как $%a^{-b^{-1}}$%. Таким образом, $%(b,a)^{-1}=(b^{-1},a^{-b^{-1}})$%.

Словесно, первый элемент должен быть равен обратному для первого элемента, а второй есть действие обратного автоморфизма на обратном элементе.