Исследовать на сходимость ряд $$\sum_{j\ge1}( e^{(-1)^j\sin\frac{1}{j})}-1)$$

задан 29 Июн 2:15

1

Сходится по Лейбницу. В уме ясно что общий член стремится к нулю, монотонен и знакочередующ. Монотонен ввиду монотонности экспоненты синуса и гиперболы

(29 Июн 2:36) abc

В монотонность я бы поверил, если бы не было $%(-1)^j$%, но с ним монотонность не очевидна... И как доказать, что к нулю стремится?

(30 Июн 0:47) curl

Стремление к нулю доказывается легко: $%(-1)^j \sin(\frac{1}{j}) \to 0$% значит $%e^{(-1)^j \sin(\frac{1}{j})} \to 1$% то слева то справа. Ясно что монотонны четные и нечетные члены. Общая монотонность тут и правда не гарантирована

(30 Июн 2:10) abc

@curl: стремление к нулю совершенно очевидно (посмотрите, что будет при j->infty), а вот монотонности тут и в самом деле нет, поэтому рассуждать придётся немного по-другому.

(30 Июн 2:11) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Заметим, что $%e^x-1=x+O(x^2)$%. Ряд из квадратов величин в показателе экспоненты сходится, поэтому достаточно рассмотреть ряд из самих показателей, то есть $%\sum\limits_{j=1}^{\infty}(-1)^j\sin\frac1j$%. Ясно, что он сходится по признаку Лейбница.

ссылка

отвечен 30 Июн 2:15

Почему ряд из квадратов синусов сходится? Почему достаточно рассмотреть ряд из показателей?

(30 Июн 4:53) curl

@curl: члены ряда имеют вид e^x-1. Это x+O(x^2). Рассматриваем сумму двух рядов. Первый ряд (из "иксов") сходится по признаку Лейбница. Второй ряд из величин O(x^2) сходится абсолютно, так как sin(1/j)~1/j, и в квадрате будет 1/j^2. Такой ряд сходится. Минусы при возведении в квадрат исчезнут. Ряд из O(x^2) будет также сходиться по признаку сравнения.

(30 Июн 11:04) falcao

А можно рассматривать сумму 2х рядов до того, как установлена сходимость?

И в терминах О большого как записать sin(1/j)~1/j?

Правильно будет записать $%O(\sin^2(1/n))\le C|\sin^2 (1/n)| < C (1/n^2)$%?

(1 Июл 21:45) curl

@curl: если оба ряда сходятся (а это здесь и доказывается), то их сумма сходится.

Оценка сверху такая и есть, по определению "О-большого".

(1 Июл 22:00) falcao

А запись $%A=\sum_{j\ge 1}(-1)^j\sin(1/j)+\sum_{j\ge 1}O(\sin^2(1/j))$%, где А - исходный ряд, корректна? Равенство с О верно же только при $%j \to \infty$%. Если запись некорректна, то почему из сходимости двух рядов следует сходимость исходного, если исходный сумме двух не равен?

(12 Июл 4:53) curl

@curl: такая запись корректна, если правильно понимать её смысл. Член ряда здесь представлен в виде суммы. Можно написать (-1)^{j}sin j+f(j), где f(j) -- какая-то функция. Про неё можно сказать, что она имеет вид O(1/j^2), то есть существует константа C такая, что |f(j)| < C/j^2. Отсюда следует, что ряд sum_j f(j) сходится (и даже абсолютно сходится). Первый ряд сходится по признаку Лейбница. Значит, исходный ряд тоже сходится как сумма сходящихся рядов.

Но я бы не писал в такой форме как у Вас. Запись хотя и правильна, но она плохо в таком виде воспринимается. Лучше работать с j-м членом.

(12 Июл 20:43) falcao

Что значит работать с j-м членом? Если мы используем сходимость двух рядов и заключаем, что сходится ряд, являющийся суммой двух рядов, как можно избежать записи, как у меня?

(12 Июл 22:04) curl

@curl: допустим, нам дан ряд с общим членом $%a_n=\frac1{n^2}+\frac{(-1)^n}{n}$%. Я замечаю, что это ряд является суммой двух сходящихся рядов: один сходится по интегральному признаку, другой по признаку Лейбница. Значит, ряд из $%a_n$% также сходится. При этом я не выписываю сами ряды в виде бесконечных сумм, а просто говорю о них. Это и значит работать с $%n$%-ми членами рядов.

Хочу отметить, что по содержанию этот вопрос уже разобран вдоль и поперёк. Если доказательство сходимости понятно, то этого должно быть достаточно.

(13 Июл 11:02) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,625

задан
29 Июн 2:15

показан
122 раза

обновлен
13 Июл 11:02

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru