Можно ли ввести скалярное произведение так, что бы оператор дифференцирования стал нормальным, самосопряженным, ортогональным? (Рассматривается как евклидово, так и унитарное пространство многочленов степени не выше n). В унитарном мы имеем право применить критерий нормальности: оператор в униатрном простарснтве нормален тогда и только тогда, когда существует ортонормированный базис из собственных векторов этого оператора. Поскольку оператор имеет единственное собственное значение lambda = 0 алгебраической кратности n. (D-lambda*I)*x=0 <-> Dx=0, очевидно, что лишь многочлены нулевой степени, то есть просто числа, являются собственными векторами. Значит о/н базиса нет и близко, при любом скалярном произведении. А самосопряженный и ортогональный операторы являются нормальными, значит и D(x) не самосопряженный и не ортогональный. Евклидово пространство Mn не подчиняется аналогичному решению. Также необходимо найти все инвариантные подпространства. То есть такие L, что Dx in L and x in L По сути, это M0,M1...Mn, но если задан другой оператор, более сложный, то как в таком случае будем искать ВСЕ инвариантным подпространства?

задан 30 Июн 20:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

Инвариантные подпространства здесь описать несложно. Прежде всего, можно их сразу назвать. Если взять все многочлены степени <=m, то дифференцирование степень не повышает, поэтому ясно, что они инвариантны. Покажем, что кроме них ничего нет.

Рассмотрим произвольное инвариантное подпространство W, и пусть f -- какой-либо из его многочленов максимальной степени m. При дифференцировании степень уменьшается на единицу. Поэтому мы последовательно получим многочлены f', f'', ... из W степеней m-1, m-2, ... , 0 соответственно. В итоге окажется, что 1 принадлежит W. С помощью неё и многочлена степени 1 выразим x, потом x^2, и так далее, и в конце выразим x^m через f и одночлены меньших степеней. В итоге окажется, что все многочлены степени <=m принадлежат W. Многочленов более высокой степени там нет, откуда следует требуемый вывод.

ссылка

отвечен 30 Июн 23:15

Спасибо, но если всё-таки оператор более сложный, то в этом случае как найти все инвариантные подпространства?

(1 Июл 0:15) nnuttertools

@nnuttertools: для операторов самого общего вида такая задача может быть сложной. По идее, метод такой же: берём какой-то вектор, действуем на него степенями оператора, и изучаем вид линейной оболочки v, Av, A^2v, ... . Если при этом получилось нечто предсказуемое и понятное, то всё хорошо. Также для случая малой размерности можно всё исследовать вручную. А если взять "случайную" матрицу большой размерности, то там не очень понятно, что будет.

(1 Июл 0:51) falcao

Отлично, понял) А про введение скалярного произведения Вы не могли бы что-нибудь сказать? Пытаюсь найти литературу уже достаточно давно, чтобы выяснить этот вопрос, но тщетно.

(1 Июл 1:56) nnuttertools

@nnuttertools: по-моему, Ваших рассуждений на эту тему вполне достаточно. Скажем, ортогональность оператора означала бы, что (f,g)=(f',g')=... , и так бы мы нашли до нуля. Примерно то же самое с остальными свойствами. Из литературы кроме определений здесь ничего не требуется. Это же явно придумано с целью отработки основных понятий, а не с целью узнать что-то новое.

(1 Июл 2:09) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×983
×119
×27
×24

задан
30 Июн 20:32

показан
44 раза

обновлен
1 Июл 2:09

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru