Решить уравнение: $% x^{4} -4 x^{3} -1=0$%

задан 30 Июн 23:57

10|600 символов нужно символов осталось
2

Уравнения 4-й степени решаются методом Феррари (если вообще решаются).

$%x^4-4x^3=1$%

$%x^4-4x^3+4x^2=4x^2+1$% (создали полный квадрат в левой части)

$%(x^2-2x)^2=4x^2+1$%

$%(x^2-2x)^2+2\lambda(x^2-2x)+\lambda^2=4x^2+1+2\lambda(x^2-2x)+\lambda^2$% (ввели параметр)

$%(x^2-2x+\lambda)^2=(2\lambda+4)x^2-4\lambda x+\lambda^2+1$%

Подбираем значение параметра так, чтобы правая часть стала полным квадратом. Условие равенства нулю дискриминанта имеет вид $%(\lambda+2)(\lambda^2+1)=2\lambda^2$%, то есть $%\lambda^3+\lambda+2=0$%.

Подбором ищем рациональный корень (если он есть). Здесь сразу видно, что подходит $%\lambda=-1$%. Далее имеем

$%(x^2-2x-1)^2=2x^2+4x+2=2(x+1)^2$%.

Уравнение свелось к двум квадратным: $%x^2-2x-1=\pm\sqrt2(x+1)$%. Дискриминант в одном случае положителен, в другом отрицателен. Получается два действительных корня $%x=\frac{2+\sqrt2\pm\sqrt{10+8\sqrt2}}2$% и два мнимых, которые при желании также можно выписать.

ссылка

отвечен 1 Июл 0:39

Кстати на сайте, он вроде есть, сейчас поищу

(1 Июл 1:53) epimkin

@epimkin: интересно, что я об этом забыл напрочь. Даже выражения с "многоэтажным" корнем ничего не напомнили. И когда я открыл ссылку, то эффект был ровно тот же -- воспоминаний в принципе не возникло.

(1 Июл 2:11) falcao

@falcao я-то. его сам задавал, вот и помню. Он, что- то часто стал в вопросах на разных форумах встречаться- вчера только отвечал

(1 Июл 2:23) epimkin
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,019

задан
30 Июн 23:57

показан
82 раза

обновлен
1 Июл 2:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru