Верно ли, что любое достаточно большое натуральное число представимо в виде суммы двух взаимно простых составных чисел?

задан 1 Июл 20:42

изменен 2 Июл 1:03

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


3.3k29

Не понятна формулировка, что значит достаточно большое?

(1 Июл 22:49) Williams Wol...
1

@Williams Wol...: говорят, что нечто верно для достаточно большого n, если существует n0 такое, что утверждение верно для всех n>=n0. Это стандартный математический оборот.

(1 Июл 22:58) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
4

Пусть мы хотим представить в виде суммы двух слагаемых число $%n$%. Чтобы они оказались взаимно простыми, нужно выбрать слагаемое $%d$%, взаимно простое с $%n$%. Помимо этого, $%d$% и $%n-d$% должны быть составными.

Известна асимптотика для функции Эйлера, то есть числа способов выбрать $%d$%. Эта величина не меньше $%\frac{Cn}{\ln\ln n} $%, где $%C$% -- некоторая положительная константа. Иными словами, взаимно простых с $%n$% чисел очень много.

С другой стороны, известна асимптотика количества простых чисел, не превосходящих $%n$%. Это $%\pi(n)\sim\frac{n}{\ln n}$%. Вместо этого можно взять менее точную оценку сверху вида $%\frac{C_1n}{\ln n}$%, которая доказывается более простыми средствами.

Таким образом, при достаточно больших $%n$%, количество тех $%d$%, для которых хотя бы одно из слагаемых не является составным, можно оценить сверху величиной $%\frac{2C_1n}{\ln n}$%, что асимптотически меньше $%\varphi(n)$%. Отсюда следует, что при $%n\gg1$% искомое разложение существует.

ссылка

отвечен 2 Июл 20:33

@falcao, большое спасибо!

(2 Июл 21:19) Пацнехенчик ...
1

@Пацнехенчик ...: сейчас только заметил, что этот мой ответ был по счёту 9999-м! Это даже "круче", чем если бы он был 10000-м :)

(3 Июл 0:30) falcao

@falcao, 9999 - это счастливое число, поздравляю Вас! Знаете, почему счастливое? Потому что его куб тоже оканцивается на 9999 :)

(4 Июл 0:04) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: и пятая степень тоже! :)

P.S. Пойду-ка англичанам голы забивать! :)

(4 Июл 0:11) falcao
1

Да и в общем-то любая нечетная? :)

(4 Июл 14:15) Williams Wol...
10|600 символов нужно символов осталось
5

Докажу частичный случай: "любое достаточно большое нечетное (!) натуральное число представимо в виде суммы двух взаимно простых составных чисел". Лемма 1. Если $%n$% - достаточно большое натуральное, то найдется нечетное простое число $%p$% такое, что $%n-2>p^2$% и $%n$% не кратно $%p$% . Использую для доказательства леммы постулат Бертрана ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Постулат_Бертрана ). Пусть $%a$% - достаточно большое действительное число. Тогда из постулата Бертрана следует, что найдется простое число на отрезке $%[ \frac{a}{2}-1; a]$% . Пусть $%n$% - достаточно большое натуральное. Тогда по одному простому числу получим на отрезках $%[\frac{\sqrt{n}}{2}-2;\sqrt{n}-2]$%; $%[ \frac{\sqrt{n}}{4}-3; \frac{\sqrt{n}}{2}-4]$%; $%[ \frac{\sqrt{n}}{8}-3; \frac{\sqrt{n}}{4}-4]$% . Произведение этих трех разных простых чисел больше за $%(\frac{\sqrt{n}}{8}-3)^3$%, а при достаточно больших $%n$% это выражение будет больше за $%n$% . Значит, $%n$% не делится хотя бы на одно из этих трех простых. Лемма доказана. На основании леммы 1, нечетное число $%n$% представимо в виде суммы $%n=p^2+(n-p^2)$%, где $%p$% - нечетное простое такое, что $%n$% не кратно $%p$% и $%n-p^2>2$%. Число $%n-p^2$% четное и больше 2, а значит оно составное. Числа $%n-p^2$% и $%p^2$% взаимно просты.

ссылка

отвечен 2 Июл 16:30

изменен 2 Июл 16:59

1

@Witold2357, большое спасибо!

(2 Июл 21:20) Пацнехенчик ...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×720
×650
×18
×8
×4

задан
1 Июл 20:42

показан
285 раз

обновлен
4 Июл 14:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru