Верны ли утверждения?

  1. Нормальная подгруппа нормальной подгруппы G нормальна в G
  2. Все конечно порожденные подгруппы (R,+) цикличны
  3. Если H,K нормальные подгруппы в G, то HK Тоже нормальна в в G
  4. В любой группе G множество элементов порядка 2 образует подгруппу

Насчет 3: это подгруппа (доказательство понятно), она нормальна т.к. g^{-1}HKg=(g^{-1}Hg)(g^{-1}Kg), и каждая из скобок лежит в HK

Насчет 4: нет, рассмотрим произведение матриц diag(-1,1) и матрицы у которой на неглавной диагонали 1,1. Порядок произведения больше 2

Как делать 2? В 1 наверное контрпример строится

задан 3 Июл 5:44

10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Стандартный пример отсутствия "транзитивности" -- группа диэдра D4. В ней есть подгруппа H, изоморфная Z2xZ2, состоящая из элементов e,s1,s2,a, где s1, s2 -- осевые симметрии относительно диагоналей, a -- центральная симметрия. Любая подгруппа индекса 2 нормальна. В группе H есть подгруппа K={e,s1} индекса 2, она нормальна в H, но в G нормальной не будет, так как s1 и s2 сопряжены в G.

Есть ещё полезный факт положительного характера. Подгруппа нормальна, если она переходит в себя при всех сопряжениях, то есть внутренних автоморфизмах. Рассмотрим чуть более сильное условие: подгруппа A<=B называется автоморфно допустимой, если она переходит в себя при всех автоморфизмах группы B. Тогда верно следующее: если A<=B<=C, где A автоморфно допустима в B, и B нормальна в C, то A нормальна в C.

Примерами автоморфно допустимых подгрупп могут служить центр, коммутант, и многое другое.

2) Подгруппа, порождённая двумя несоизмеримыми элементами, например, 1 и sqrt(2), не циклична. Она изоморфна Z+Z ввиду единственности представления числа в виде m+nsqrt(2) для целых m,n.

3) Здесь всё верно, но нужно заметить сначала, что HK является подгруппой. Это верно при чуть более слабом условии, когда хотя бы одна из подгрупп нормальна в G -- например, H. Тогда aH=Ha для всех a, откуда KH=HK. Значит, (HK)(HK)=HKHK=HHKK=HK, и аналогично (HK)^{-1}=K^{-1}H^{-1}=KH=HK по критерию.

4) Тут можно самый простой пример предложить, рассматривая группу S3. Кстати сказать, чисто формально такие элементы никогда не образуют подгруппу, поскольку единичный элемент имеет порядок 1, а не 2. Но даже если брать случай элементов порядка 1 или 2, то понятно, то транспозиции с единицей не образуют подгруппу в S3.

ссылка

отвечен 3 Июл 12:37

P.S. Это был ответ номер 10000 :)

(4 Июл 1:44) falcao

Поздравляю! :)

(6 Июл 4:37) Slater

Очевидно ли без прямой проверки, что подгруппа, изоморфная Z2xZ2, из первого пункта имеет индекс 2? Очевидно ли, что указанные элементы сопряжены? (Я в буквенных терминах расписал, получилось, что они сопряжены поворотом на 90 градусов).

Автоморфно допустимая подгруппа - это синоним характеристической подгруппы?

Как напрямую доказать, что < 1, sqrt(2) > не порождается 1 элементом? Можно предположить, что m+n*sqrt(2)=Ak для вещественного А, целых m,n,k; тогда sqrt(2)=(Ak-m)/n, что противоречит иррациональности корня из 2. Но это если n не равно нулю. А если равно?

(10 Июл 3:26) Slater

@Slater: утверждение про индекс очевидно примерно в той же степени, как то, что 8:4=2 :)

Насчёт сопряжения -- той проверки, о которой Вы говорите, достаточно. Также можно иметь в виду, что если два преобразования устроены одинаково с точностью до "замены координат", то они сопряжёны. Скажем, повороты на угол 90 и -90 градусов. Это как бы наглядный смысл сопряжённости. А осевая симметрия относительно диагонали не сопряжена симметрии относительно прямой, параллельной стороне.

Характеристическая подгруппа -- синоним.

Если a -- порождающий, то sqrt(2)=ma, 1=na => sqrt(2)=m/n.

(10 Июл 3:38) falcao

"утверждение про индекс очевидно примерно в той же степени, как то, что 8:4=2 :)" А, я забыл, что есть формула |G|=|H|[G:H]. Тогда очевидно.

(10 Июл 3:47) Slater
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,569

задан
3 Июл 5:44

показан
48 раз

обновлен
10 Июл 3:47

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru