Рассмотрим неограниченную последовательность $$0 < a_1 < a_2 < \dots$$ и $$s=\lim \sup \frac{\log n}{\log a_n}$$ Доказать, что ряд $$\sum a_n^{-t}$$ сходится для $%t > s$% и расходится для $%t < s$%

задан 4 Июл 0:10

10|600 символов нужно символов осталось
2

Пусть $%t > s$%. По определению верхнего предела найдется $%t_0$%, что $%s < t_0 < t$% и $$ \exists n_0: \ \forall n > n_0 \Rightarrow \frac{\ln n}{\ln a_n} < t_0. $$ Можно считать, что все $%a_n > 1$%, тогда $$ \ln a_n > \frac{\ln n}{t_0} \Rightarrow a_n > n^{\frac{1}{t_0}} \Rightarrow a_n^t > n^{t/t_0}, $$ откуда $$ \frac{1}{a_n^t} < \frac{1}{n^{t/t_0}}, \ \frac{t}{t_0} > 1, $$ откуда следует сходимость.

Обратно, видимо, неверно. Смотри комментарии

ссылка

отвечен 8 Июл 15:27

изменен 10 Июл 19:43

Последнее неравенство у меня ошибочно, так что доказательство в обратную сторону неверно. Не очень понимаю, как его исправить.

(10 Июл 17:57) no_exception

@no_exception: по-моему, в обратную сторону само утверждение неверно. Можно взять ряд, у которого некоторые члены, с редко встречающимися номерами, дают часть гармонического ряда. Сходимости это не мешает. Видимо, там в обратную сторону нужно, чтобы нижний предел был больше t. Тогда всё должно работать.

(10 Июл 19:37) falcao

@falcao, спасибо. Я тоже думал в этом направлении, но засомневался.

(10 Июл 19:42) no_exception

@Slater, я совсем упустил из виду монотонность. Интересно, спасибо!

(10 Июл 22:46) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,553

задан
4 Июл 0:10

показан
65 раз

обновлен
10 Июл 22:46

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru