Найти абсолютный минимум $$xy+yz+zx$$ на $$x^2+y^2+z^2=12$$

Система $%\nabla f=t\nabla g,x^2+y^2+z^2=12$% дает $%t=-1/2$% (иначе $%x=y=z=0$%). То есть $%x+y+z=0$%. Подставляем: $%y^2+z^2+yz=6$%. Что дальше делать?

задан 5 Июл 2:20

Тут многими методами можно решать -- и при помощи множителей Лагранжа, и через приведение квадратичной формы к каноническому виду. Но при Вашем подходе надо подставить x=-y-z в целевую функцию. Это даст yz-(y+z)^2=-(y^2+z^2+yz)=-6. Это значение достигается при x=0, y=sqrt(6), z=-sqrt(6).

(5 Июл 2:53) falcao

А как Вы нашли значения x,y,z - методом подбора?

Как в данном случае приведением к каноническому виду решать? Если делать замены типа x=w-t,y=w+t, то так только в одном из слагаемых появятся квадраты.

(5 Июл 2:59) curl

@curl: когда гипотетическое значение минимума известно, подобрать точку, где он достигается, довольно легко.

К каноническому виду можно привести методом Якоби (то есть через ортогональные преобразования). Я этого не проделывал, потому что это длинно. Здесь возможно чисто школьно-олимпиадное решение при помощи элементарных неравенств. Не так давно на форуме что-то похожее выписывали.

(5 Июл 3:05) falcao
1

Здесь как будто проходит школьный прием: умножить целевую функцию на 2 и прибавить 12.

(5 Июл 13:33) Urt

@Urt: да, именно такой путь здесь самый естественный.

(5 Июл 15:55) falcao

Перерешивая систему, я не нашел противоречий тому, что t=1 (и тогда x=y=z). Кажется, это другая возможность. Если пользоваться множителями Лагранжа, то как этот случай разобрать? Получается исходная функция равна $%3x^2$%, а ограничение $%x^2=4$%... Функция $%3x^2$% не может быть равна -6...

(9 Авг 2:40) curl

@curl: метод Лагранжа даёт только необходимые условия. Типа того, что если экстремум есть, то он может наблюдаться только в таких-то точках. Которые далее проверяются отдельно. Если какой-то из этих случаев не подходит (как у Вас t=1), то он отбрасывается. Он даёт точку максимума, а здесь нужен минимум.

(9 Авг 9:50) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,819

задан
5 Июл 2:20

показан
113 раз

обновлен
9 Авг 9:50

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru