$%f:[0,1]\to [0,1]$% непрерывно дифференцируема, $%f(0)=f(1)=0, f'(x)$% невозрастает. Доказать, что длина графика $%f$% не превосходит $%3$%

задан 5 Июл 8:00

изменен 5 Июл 8:19

Рассмотрим семейство парабол f(x)=a(x-x^2), где a > 0. Производная равна a(1-2x); она убывает. Тем не менее, длина графика здесь может быть сколь угодно большой при больших значениях a. То есть с условием что-то не так.

(5 Июл 15:42) falcao
1

@falcao, я тоже сперва не понял... а потом заметил, что по условию $%0 \le f(x) \le 1$%...

Тут видимо надо показать, что график имеет длину меньше, чем три стороны единичного квадрата...

(5 Июл 16:36) all_exist

@all_exist: да, Вы правы. Я тоже пропустил это ограничение. Задача вполне корректна.

(5 Июл 17:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Функция имеет два участка: убывания и возрастания (нестрогого). На промежутке [a,b], где она возрастает, длина кривой равна интегралу от sqrt(1+f'(x)^2)<=1+f'(x). Интеграл не превосходит int dx + int dy, где y=f(x). В сумме получается оценка b-a+f(b)-f(a), то есть сумма изменений по x и по y. Для участка убывания -- аналогично. Вместе получается сумма изменений по x, что не больше 1, плюс две суммы измнений по y, что не больше 1+1. Итого будет оценка 3 (это и есть сумма трёх сторон квадрата.

ссылка

отвечен 5 Июл 18:04

Почему функция имеет 2 участка? Откуда sqrt(1+f'(x)^2)<=1+f'(x)? Про sqrt(t) <= t понятно, но t^2 <= t только при t от 0 до 1. Почему f'(x) от 0 до 1? Если предполагается возрастание, то f'(x) > 0, но почему f'(x) < 1? И для второго случая какое неравенство тогда будет?

(5 Июл 22:20) curl

@curl: полезно нарисовать картинку и смотреть по ней. График f напоминает параболу.

Из f(0)=f(1) следует существование точки c, в которой f'(c)=0. Поэтому f'(x) < 0 при x < c и f'(x) > 0 при x > c ввиду неубывания f'. Это даёт убывание f на [0,c] и возрастание f на [c,1]. Отсюда 2 участка.

Неравенство sqrt(u^2+v^2)<=|u|+|v| очевидно (гипотенуза и сумма катетов). Его применили при u=1, v=f'(x).

Про неравенство f'(x) < 1 я нигде не говорил. Там оценка для интеграла имеет вид int dx +int dy=b-a + f(b)-f(a), а эти участки изменения икса и игрека не больше 1, так как отображение из [0,1] в себя.

(5 Июл 23:47) falcao

Во втором случае, получается, никаких изменений нет, и все неравенства те же? Только f'(x) <= 0, которое нигде не участвует.

(6 Июл 0:02) curl

Для f'(x)<=0 всё полностью аналогично. Там оценка сверху будет b-a+f(a)-f(b), а других отличий нет.

(6 Июл 0:53) falcao

Я сейчас заметил, что на обоих участках интегрирование проходит по [a,b]. Почему не по [a,c] и [c,b]? Т.е. почему не $$\int_a^b=\int_a^c+\int_c^b\le \int_a^c (1+f')dx+\int_c^b (1+f')dx=\ (c-a)+(b-c)+(f(c)-f(a))+(f(c)-f(b))$$

(6 Июл 1:12) curl

@curl: у меня a, b -- текущие обозначения, для одного отрезка интегрирования. Которые в частном случае принимают значения [0,c] и [c,1]. Если подробно расписывать, как у Вас, то там вместо a,b надо брать концы отрезка, то есть 0 и 1.

(6 Июл 1:15) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,625

задан
5 Июл 8:00

показан
92 раза

обновлен
6 Июл 1:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru