$%f:R^n\to R$% непрерывна, $%f(x)\to 0$% при $%||x||\to \infty$%

Доказать, что $%f$% равномерно непрерывна на $%R^n$%

задан 5 Июл 8:02

10|600 символов нужно символов осталось
1

Вроде типовое рассуждение...

Внутри любого шара $%\|x\| \le r_1$% функция равномерно непрерывна...

По $%\varepsilon > 0$% выбрать $%r(\varepsilon)$% такой, что $%|f(x)| < \frac{\varepsilon}{2}$% при $%\|x\| > r$%... тогда вне шара $%|f(x)-f(y)| < \varepsilon$%...

Осталось взять, например, $%r_1 = r+1$%, чтобы не задумываться о точках вблизи границы шара...

ссылка

отвечен 5 Июл 11:53

Есть 3 случая: x,y лежат оба в шаре, оба вне шара, и одна точка в шаре, другая - нет. С первым случаем понятно. Насчет второго, надо доказать что для э существует б такое что если |x|>R, y>R, |x-y|<б, то |f(x)-f(y)|<э. Но как доказывать существование такого б? (Тут вроде выполнено |f(x)-f(y)|<э для всех x,y таких, что |x|>r, |y|>r, но с б непонятно). И что с третьим случаем, тоже не очень понятно.

(10 Авг 1:28) curl

@curl, Насчет второго - модуль разности не превосходит сумму модулей... и всё...

И что с третьим случаем, тоже не очень понятно. - третьего случая нет, если выбирать $%\delta < 1$%... для этого последняя строчка и написана...

(10 Авг 2:47) all_exist

Я не спорю, что он не превосходит, но в определении равномерной непрерывности говорится, что "существует дельта". При каком дельте будет выполнено |f(x)-f(y)|<eps?

(10 Авг 2:54) curl

@curl: в случае с неравенством треугольника, когда оба числа < eps/2, значение delta можно выбрать любым.

(10 Авг 10:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,624

задан
5 Июл 8:02

показан
86 раз

обновлен
10 Авг 10:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru