$%f:[0,1]\to R$% непрерывна, $%f(0)=2018$%. Найти $$\lim\int_0^1 f(x^n)dx$$

задан 5 Июл 8:05

Здесь снова можно сослаться на теорему Лебега.

(8 Июл 14:34) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
2

Предложу свою версию доказательства (хотя идея там такая же). Положим $%g(x)=f(x)-f(0)$%. Она обладает свойством $%g(0)=0$%, и при этом условии достаточно показать, что предел равен нулю. Тогда ответом для общего случая будет $%f(0)$%.

Фиксируем $%\varepsilon > 0$%. Ввиду непрерывности находим $%\delta > 0$% такое, что $%t\in[0,\delta]$% влечёт $%|g(t)| < \frac{\varepsilon}2$%. Интеграл от $%g(x^n)$% представим в виде суммы двух интегралов по отрезкам $%[0,\delta^{1/n}]$% и $%[\delta^{1/n},1]$%. Модуль первого слагаемого меньше $%\frac{\varepsilon}2$%, так как длина отрезка интегрирования меньше 1, и $%|g(x^n)| < \frac{\varepsilon}2$% при $%x\le\delta^{1/n}$%.

Поскольку $%\delta^{1/n}$% стремится к 1 при $%n\to\infty$%, а непрерывная на отрезке функция ограничена по модулю константой $%C > 0$%, можно выбрать $%n_0$% так, что $%1-\delta^{1/n} < \frac{\varepsilon}{2C}$%. Тогда второе слагаемое также будет меньше $%\frac{\varepsilon}2$%, а модуль интеграла от $%g(x^n)$% окажется меньше $%\varepsilon$%.

ссылка

отвечен 5 Июл 22:00

10|600 символов нужно символов осталось
1

Для любого $%a \in [0,1)$% имеем: $%\lim \int \limits_{0}^{1}f(x^n)dx = \lim \int \limits_{0}^{a}f(x^n)dx+\lim \int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx = \lim ua+\lim \int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx$% где u среднее значение функции на отрезке $%[0,a^n]$% (По теореме о среднем для интегралов). Таким образом $%\lim ua =f(0)a$% для любого фиксированного $%a \in [0,1)$%.

Значит $%\lim \int \limits_{0}^{1}f(x^n)dx = f(0)a+\lim \int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx$% и теперь устремляя $%a \to 1$% получаем $%\lim \int \limits_{0}^{1}f(x^n)dx = f(0)$%

ссылка

отвечен 5 Июл 8:50

Вот только все это вилами на воде писано, поскольку нигде не доказано существование предела, а проведены рассуждения в предположении, что предел существует.

(5 Июл 20:24) Амфибрахий

1-e и 2-e равенство верны и в обратную сторону, то есть если предел справа существует то и слева существует. Далее равенство $%\lim ua=f(0)a$% верно и в обратную сторону, т.е. оно не только находит предел но и устанавливает что lim ua существует. Таким образом итоговое равенство $%\lim \int \limits_{0}^{1}f(x^n)dx = f(0)a+\lim \int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx$% "верно в обе стороны".

Однако навешивать на него предел по $%a$% мы имеем право только если правая часть определена в окрестности a=1 я прав? Т.е. в рассуждении и в самом деле имеется маленькая дырочка, которая впрочем мгновенно латается

(5 Июл 21:06) abc

@Амфибрахий: я понял рассуждение так, что интеграл записывается в виде суммы, и далее про каждое из слагаемых доказывается существование предела.

(5 Июл 21:27) falcao

@Амфибрахий @falcao Да, тут надо доказать что $%\lim\limits_{a \to 1}\lim\limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx $% существует и равен нулю(с помощью неравенств на $%\int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx$%) . Хотя для каждого конкретного $%а\in(0,1)$% пределу $%\lim\limits_{n \to \infty} \int \limits_{a}^{1}f(x^n)dx$% разрешено не существовать. Я описал это в вопросе math.hashcode.ru/questions/157765

(7 Июл 17:32) abc
10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно и так: $$\int \limits_{0 \;}^{\; 1}f(x^n)dx = \int \limits_{0 \;}^{\; 2^{-\frac{1}{\sqrt n}}}f(x^n)dx + \int \limits_{2^{-\frac{1}{\sqrt n}} \;}^{\; 1}f(x^n)dx \equiv I_1 + I_2.$$ Тогда $$I_1 = 2^{-\frac{1}{\sqrt n}}f({x_n^n}), \; 0< x_n < 2^{-\frac{1}{\sqrt n}},$$ и $${x_n^n} \to 0.$$ Кроме того, $$\left| I_2 \right| \le (1-2^{-\frac{1}{\sqrt n}})\max \limits_{t \in [0;1]}|f(t)| \to 0.$$

ссылка

отвечен 8 Июл 14:12

изменен 8 Июл 14:23

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,625

задан
5 Июл 8:05

показан
134 раза

обновлен
8 Июл 14:34

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru