Пусть $%a>0, x_n$% сходится, $$y_n=\frac{x_1+\dots+x_n}{n^a}$$ ограничена. Доказать, что для $%b> a$% сходится ряд $$\sum_{n\ge 1} \frac{x_n}{n^b}$$

задан 5 Июл 8:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Выразим $%x_n$% через $%y_n$%. Получится $%x_n=n^ay_n-(n-1)^ay_{n-1}$% при $%n\ge2$%. Для ряда из $%x_nn^{-b}$% получим сумму двух рядов и докажем, что оба они сходятся: $%x_nn^{-b}=y_nn^{a-b}-(n-1)^an^{-b}y_{n-1}=(\frac{y_n}{n^{b-a}}-\frac{y_{n-1}}{(n-1)^{b-a}})+y_{n-1}(n-1)^a(\frac1{(n-1)^b}-\frac1{n^b})$%.

У первого ряда частичные суммы равны $%\frac{y_n}{n^{b-a}}$%, и они стремятся к нулю ввиду $%b > a$% и ограниченности $%y_n$%. Значит, первый ряд сходится (к нулевой сумме).

Второй ряд рассмотрим без учёта $%y_{n-1}$% и докажем, что он сходится. Он имеет положительные члены, и достаточно доказать, что он сходится. Тогда по признаку сравнения ряд с участием "игреков" будет сходиться абсолютно.

Имеем $%(n-1)^a(\frac1{(n-1)^b}-\frac1{n^b})=(n-1)^{a-b}(\frac1{(1-\frac1n)^b}-1)$%. Мы знаем, что $%(1-\frac1n)^{-b}=\exp(-b\ln(1-\frac1n))=\exp(\frac{b}n+o(\frac1n))=1+\frac{b}n+o(\frac1n)$%, поэтому выражение в скобках равно $%\frac{b}n(1+o(1))$%. Также ясно, что $%(n-1)^{b-a}=n^{b-a}(1+o(1))$%, так как частное $%(\frac{n-1}n)^{b-a}$% стремится к 1. Следовательно, общий член ряда эквивалентен $%\frac{b}{n^{1+b-a}}$%, где показатель степени при $%n$% строго больше 1, и такой ряд сходится.

ссылка

отвечен 5 Июл 15:36

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,553

задан
5 Июл 8:29

показан
38 раз

обновлен
5 Июл 15:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru