1. Доказать что для любого $%n\ge 1$% существует единственный $%x$% для которого $$\frac{1}{\sqrt{nx+1}}+\frac{1}{\sqrt{nx+2}}+\dots+\frac{1}{\sqrt{nx+n}}=\sqrt n$$
  2. Назовем $%x_n $% решение из пункта 1. Найти $%\lim x_n$%

задан 5 Июл 8:32

В первом пункте по индукции? Если для $%n$% известно, то надо доказать, что существует единственный х такой что $%\sqrt{n}+\frac{1}{\sqrt{(n+1)x+(n+1)}}=\sqrt{n+1}$% и решение $%x=\frac{n+2\sqrt{n(n+1)}}{n+1}$%, а предел равен 3?

(5 Июл 8:40) curl
1

Первый пункт очевиден ибо левая часть монотонна по x и имеет область значений $%(0,\infty)$% значит решение существует и единственно. Второй пункт неправильный потому что $%f_n(x_n)+\frac{1}{\sqrt{(n+1)x_{n+1}+n+1}} \ne f_{n+1}(x_{n+1})$%

Чтобы найти предел попробуйте заменить сумму интегралом

(5 Июл 9:16) abc
1

Там получается интегральная сумма для 1/sqrt(x+t), где x -- параметр, t от 0 до 1. Интеграл равен 2(sqrt(x+1)-sqrt(x))=1. Решая, имеем предельное значение x=9/16.

(5 Июл 18:32) falcao

Только я не понял, почему мое индуктивное доказательство не работает? Рассматриваем формулу для n+1 и заменяем первые n членов в левой части на корень из n, пользуясь предположением индукции. Полученное уравнение имеет единственное решение относительно х, и он находится.

(5 Июл 22:09) curl

@curl: индуктивное рассуждение здесь не работает, потому что мы не тождество доказываем, а уравнение решаем. Из соображений монотонности следует, что для каждого n существует x=x(n) зависящее от n. Равенство из условия будет верно при этом x, а при других уже неверно. Ваше рассуждение использует одно и то же x как при n, так и при n+1, а это неверно.

(5 Июл 23:53) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,798

задан
5 Июл 8:32

показан
127 раз

обновлен
5 Июл 23:53

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru