в книге Маклейна 2004 г по категориям на стр 204 дается определение сложения стрелок симплициальной категории (f+g)(i)=f(i), i=0,1,..., n-1, (f+g)(i)=n'+g(i-n), i=n,n+1,..., n+m-1

если f стрелка из 0 (пустое множество) в 1 (множество имеющее в качестве элемента пустое множество), то например, f+f приведенной формулой не определено. Как доопределить формулу чтобы этот случай был включен?

задан 5 Июл 16:19

изменен 5 Июл 17:46

Книги под рукой нет, поэтому желательно или дать онлайн-ссылку на её текст, или напомнить определение симплициальной категории (какие там объекты и морфизмы).

(5 Июл 16:30) falcao

Отображение из пустого множества в непустое всегда пусто. Поэтому f+f по смыслу тоже должно быть пустым. Ведь если m=n=0, то i от 0 до -1, то есть это как цикл в программе от 0 до -1. Он не будет выполняться ни разу. То есть f+f состоит из 0 упорядоченных пар, то есть оно пусто. Доопределять ничего не надо.

(5 Июл 17:49) falcao

"Отображение из пустого множества в непустое всегда пусто". кажется что не так: нульарные операции в алгебре имеют образами "непустые" элементы

"Поэтому f+f по смыслу тоже должно быть пустым. Ведь если m=n=0," в формулу нельзя подставить n=0, так как i начинается с 0

вопрос остается!?

(5 Июл 18:10) gekont

@gekont: пусть f -- отображение из A в B, где A пусто. Предположим, что f непусто. Тогда упорядоченная пара (a,b) принадлежит f, где a \in A, b \in B. Получается противоречие с тем, что A пусто. То есть отображение пустого множества в какое угодно множество является пустым: в нём нет упорядоченных пар.

То, что 0-арная операция есть фиксация элемента, это верно. Но n-арная операция на X есть отображение из X^n в X. При n=0 множество X^0 одноэлементно (состоит из одного пустого набора). То есть тут нет никакого расхождения с предыдущим. В этой "формалистике" всё тщательно продумано.

(5 Июл 18:15) falcao

остается вопрос с невозможностью подставить n=0; то есть случbй n=0 надо особо оговорить - это было бы доопределением формулы?

считаем синонимами функцию и отображение из А в В, отображение это набор пар элементов, если набор пуст, то отображение называется пустым.

в категории множеств стрелки - функции, пустое множество - объект, из него в другие множества имеется единственное отображение, которое как вы доказали есть пустое отображение. как быть тогда с вложением, ведь пустое множестве есть элемент в порядковой единице, то есть вложение не пусто (пустое когда образ пуст и кообраз пуст).

(5 Июл 18:48) gekont

Вот здесь написано, что объектами категории являются только непустые конечные ординалы.

(5 Июл 21:22) falcao

как-то уже эту ссылку смотрел... там объект с.к. [n]={0,1,2,...,n}, но стандартно конечный ординал n это n={0,1,2,...,n-1}, содержит предыдущие... спасибо, посмотрю вечером подробнее и тогда отпишу. надо эти основы по полочкам разложить... все равно всплывают, если не разобраться.

(5 Июл 21:33) gekont

@gekont: это верно, но тут рассматриваются только непустые ординалы (по определению), то есть n+1={0,1,...,n} для всех n>=0. Обозначение [n] для этой цели более удобно.

(5 Июл 21:46) falcao

Маклейн использует начальный объект симплициальной категории, который и есть пустое множество - пустой ординал как вы сказали, без него эта категория не будет строго моноидальной (нужен единичный относительно тензорного умножения объект - тут это как раз ноль или пустое множество...), буду разбираться отпишу. Спасибо!

(5 Июл 23:53) gekont

@gekont: если у Маклейна определение чем-то отличается, то надо его воспроизвести текстуально точно, включая обозначения. Не исключено, что одна версия от другой отличается простой перекодировкой типа 0->1, 1->2, ... .

(6 Июл 0:00) falcao

https://fileskachat.com/file/43673_28aba29a565eb508b16769f7724e9e01.html это книга Маклейна, могу сбросить сам файл, сейчас отпишу определение из нее точно.

(6 Июл 12:06) gekont

@gekont: хотелось бы избежать скачивания полного текста книги.

(6 Июл 12:10) falcao

Объектами этой категории SC служат все конечные порядковые числа n={0,1,...,n-1}, а стрелками f:n ->m -все (нестрого) монотонные функции, то есть такие функции f, что из 0 меньше-равно i меньше-равно j < 0 следует fi меньше-равно fj (i,j - индексы). В этой категории порядковое число 0 (- пустое множество см. стр.22 книги Макслейна) является начальным объектом, а 1 терминальным. Порядковое сложение это бифунктор SCxSC->SC определенный на ординалах как обычная сумма n+m, а на стрелках f:n->n', g:m->m' - по формуле

(6 Июл 12:21) gekont

(f+g)(i)=f(i), i=0,1,...,n-1; (f+g)(i)=n'+g(i-n), i=n,n+1,...,n+m-1 (Таким образом, функция f+g - это просто f и g поставленные рядом). Тогда (SC,+,0) становится строго моноидальной категорией. Поскольку объект 1 в ней терминален, то существуют единственные стрелки s:2->1 , t:0->1. Так вот из стрелок s и t далее Маклен строит всю категорию SC, то бишь из пустого отображения t:0->1

(6 Июл 12:22) gekont

обозначим sn единственную стрелку для каждого n, именно, sn:n->1, например, s2:2->1, s2(0)=0, s2(1)=0 вычислим f=t+s2. Поскольку t:0->1, а s2:2->1, то t+s2:2->2. f(0)=1, f(1)=1 из-за единицы в t:0->1 сложение с оказывается результативным

таким образом надо дополнять определение Маклейна для n=0, как вы считаете?

сейчас еще несколько формул проверим, считая что отображение из пустого множества ничего не делает но в сложении используется информация о том в какое множество берется пустое отображение

(6 Июл 12:47) gekont

не знаю как для вас сбросить сканы нужных страниц из Маклейна

(6 Июл 12:48) gekont

@gekont: тут вроде всё понятно. Там не хватало только информации о том, что такое n'. В этом контексте n' часто означает последующее число, то есть n+1. Но здесь это просто другой номер, а стрелка идёт из n в n'.

Для n=0 общее определение действует. При этом f+g даёт стрелку из n+m=m в n'+m', где (f+g)(i)=n'+g(i) для всех 0<=i < m, в точном соответствии с формулами.

(6 Июл 13:32) falcao
показано 5 из 17 показать еще 12
10|600 символов нужно символов осталось
0

Предлагается такой вариант доопределения формулы порядкового сложения: при n=0, m>0 вторая строка формулы остается в силе, при n=m=0 результатом сложения является пустое отображение в множество n'+m'

выражаю благодарность falcao за полезные обсуждения, пропала возможность что-то добавить комментарий... прошу falcao этот ответ прокомментировать, раз все равно "не хватало информации про n' "

в комментарии уже не удается вставить - пишу тут: будем считать что falcao защитил маклейна, потому что мы с falcao по-видимому говорим одно и то же. Но чтоб поколебать книжку Маклейна задаю вопрос: на стр.81 Маклейн пишет (или переводчик..) "пусть f:a->b - стрелка в категории в С" , надо ли убрать хотя бы одну букву "в"?

ссылка

отвечен 5 Июл 17:44

изменен 7 Июл 17:35

Я уже всё прокомментировал. Случай n=0 никак специально выделять не надо. Формулы для него прекрасно действуют.

(6 Июл 14:39) falcao

считаю, что определение полно, если его "понимает" компьютер. давайте это требование полноты, вообще, подставим в мой вопрос.


Постараюсь пошагово показать, что здесь Маклейна НАДО дополнить. Первый шаг. В формуле для f+g две части, в первой части имеем i=0,...,n-1, из чего следует, что n>0, компьютер попытавшись подставить n=0 остановится (с одной стороны i>=0, с другой стороны, i=-1 при n=0, противоречие). Этого достаточно для доказательства того, что определение не работает при n=0. i=-1 Маклейн не вводил в мн-во ординалов,среди которых только 0,1,2,...объекты SC

(6 Июл 19:18) gekont

Второй шаг. "Там не хватало ... информации...", этим вы сами признали, что в формуле не хватает информации, значит какую-то информацию надо добавить (дополнить Маклейна), иначе компьютер остановится (информации НЕ хватает).

далее ...если нужен третий шаг...

Рад с вами общаться. С уважением.

(6 Июл 19:21) gekont

@gekont: в первой части имеем i=0,...,n-1, из чего следует, что n>0.

Одно из другого никоим образом не следует. Вывод n > 0 возможен только в предположении, что существует i такое, что 0<=i<=n-1. При n=0 его не существует. Поэтому та часть формулы, которая за это отвечает, становится не ложной, а тривиально истинной. Типа утверждения о том, что все элементы пустого множества такие-то и такие-то (например, розовые крокодилы). Любое утверждение этого типа всегда верно (импликации с ложной посылкой истинны).

Информации не хватало только о том, что f есть отображение n в n'.

(7 Июл 1:11) falcao

еще подумаю, а на вскидку - дано определение, а не высказывание, потом нужен модус поненс для вывода... надо бы их все явно выписать для первой части вашего комментария.. по второй части сообразил: информация о том, что f есть отображение содержится в посылке Маклейна "пусть заданы f:n->n' и g , тогда определена их сумма ..." стрелки в симплициальной категории суть функции так что про n' мы вроде все знаем, какой же информации не хватало?

(7 Июл 2:32) gekont

@gekont: там именно высказывание. Если я определяю функцию, скажем, f:{1,2,3}->{a,b,c,d} и пишу f(1)=a, f(2)=c, f(3)=a, то налицо конъюнкция трёх высказываний, которая полагается истинной в силу определения. Если я пишу "будем считать, что для всех i, удовлетворяющих неравенству 1<=i<=n, верно f(i)=2i+1", то я полагаю истинными n высказываний. При n=0 я не полагаю ничего; это пустая конъюнкция, то есть тождественная истина. Modus ponens не имеет ко всему этому отношения, так как мы ничего не выводим.

Ещё раз по поводу информации, которой не хватало: там было n', но не было сказано, что это.

(7 Июл 4:42) falcao

"Ещё раз по поводу информации, которой не хватало: там было n', но не было сказано, что это"

Стрелки - это функции f:n->n', если сказано "пусть задана стрелка f:n->n' ", тогда про f,n и n' известно все, иначе стрелка НЕ задана. В определении f и g - заданные стрелки, про которые известно ВСЕ, а вы говорите, что про n' что-то не известно...

"там именно высказывание". лучше сказать значение предиката (у нас предметные переменные порядковые числа.. и т.д.) , например P(i,j)=(i=j), тогда P(5,0) - высказывание. про модус поненс дальше...

(7 Июл 13:16) gekont

"Если я пишу "будем считать, что для всех i, удовлетворяющих неравенству 1<=i<=n, верно f(i)=2i+1", то я полагаю истинными n высказываний". Здесь, мне кажется, вы строите интерпретацию для нового функционального символа (пусть f нет в языке), а в определении сложения строиться формула на основе уже имеющихся ф.символов с их интерпретациями. "При n=0 я не полагаю ничего; это пустая конъюнкция, то есть тождественная истина". Нас преследует пустота!!! что такое пустая конъюнкция и почему она не тождественная ложь?

(7 Июл 13:59) gekont

"Если я определяю функцию f:{1,2,3}->{a,b,c,d} и пишу f(1)=a, f(2)=c, f(3)=a, то налицо конъюнкция трёх высказываний, истинная в силу определения". Уточняем. Есть формальный язык в нем есть функциональный символ f (набор ф.симв. g,h,...), при интерпретации этому символу сопоставляется конкретная функция, а в определении речь идет об введении обозначений для дополнительно определяемых функций, например, о f+g.

(7 Июл 14:09) gekont

модус поненс у меня сассоциировался с проблемой корректности определения... если корректность надо доказывать то тут и вывод с модус поненсом, далее, введение нового функционального символа как в вашем примере так и для f+g в нашем случае аналогичны... думаю причем тут импликация с ложной посылкой (всегда истинная)

(7 Июл 14:23) gekont

Надумал. При определении мы указываем какие формулы истинные, например, при определении функции f мы говорим f(6)=3 истинно (а f(6)=0 тогда ложно). В определении Маклейна f+g имеется предикат P(i,n)=(i=0 V ... V i=n-1) и импликация P(i,n) ==> (f+g)(i)=f(i), о которой вы говорите. Задача определения дать случаи, когда формула (f+g)(i)=f(i) истинна. Получить истинность формулы из импликации мы можем как раз с помощью модус поненс МР:если истинно a и истинно a==>b, то истинно b. Так что здесь истинность (f+g)(i)=f(i) мы получаем не напрямую,

(7 Июл 15:55) gekont

как в случае постулирования "f(6)=3 истинно", и из условий с помощью МР! Итак, у нас такой вывод: P(i,n), P(i,n) ==> (f+g)(i)=f(i) |- (f+g)(i)=f(i). Раз мы на истину не указываем пальцем, то должны ее доказать, а это вывод! В выводе P(i,n) должно быть истинно, так что случай n=0 никак не определен, и Маклейна нужно доопределить в нуле.

(7 Июл 16:00) gekont

@gekont: целью является задание функции f+g. Для этого надо задать её значение на каждом элементе области определения. Она разбита на два подмножества: {0,1,..,n-1} и {n,...,n+m-1}. На каждом из них f+g задаётся своей формулой. При n=0 первое подмножество оказывается пустым. Значит, эта часть определения не сообщает никакой содержательной информации, и не может сообщать. Доопределять что-либо нет никакой необходимости, так как формулы нам дают значения f+g на любом элементе области определения, а ровно это и нужно. Оговаривать отдельно случай n=0 тоже незачем: он сообщает тривиальную истину.

(7 Июл 16:33) falcao

@gekont: отвечаю на языковой вопрос. Категория -- это, грубо говоря, граф (с какими-то дополнительными структурами). Мы говорим как "e -- ребро графа Г" так и "e -- ребро в графе Г". Оба варианта допустимы. Во втором случае по смыслу подразумевается слово "имеющееся".

Примерно так же говорят "подмножество в множестве B" вместо "подмножество множества B", хотя второе академически точнее. Но есть такой недостаток: если уже известно, что B есть множество, то вторая фраза превращается в "подмножество B", которую можно понять и как то, что B есть имя самого подмножества.

(7 Июл 21:56) falcao
показано 5 из 14 показать еще 9
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,080

задан
5 Июл 16:19

показан
153 раза

обновлен
7 Июл 21:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru