Пусть в кольце выполнено $%a^n=a$% для всех элементов ($%n > 2$%). Доказать, что всякий простой идеал в кольце максимален.

Подойдет ли такое доказательство?

Пусть $%I\subset R$% - простой идеал. Рассмотрим $%R\to R/I$% и $%\bar x\ne \bar 0$% в $%R/I$%. Т.к. $%x^n=x$%, беря образы, получаем $%\bar x^n=\bar x$% или $%\bar x(\bar x^{n-1}-\bar 1)=\bar 0$%. Поскольку $%R/I$% - область целостности, $%\bar x^{n-1}=\bar 1$%. Тогда $%\bar x^{n-2}$% - элемент, обратный к $%\bar x$%. То есть каждый ненулевой элемент обратим, и $%R/I$% - поле, а тогда $%I$% максимален.

задан 6 Июл 5:18

Да, это верно.

(6 Июл 10:44) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,569

задан
6 Июл 5:18

показан
26 раз

обновлен
6 Июл 10:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru