Пусть $%R$% - область целостности. Может ли она содержать аддитивные подгруппы $%\mathbb Z_p,\ \mathbb Z_q$%, где $%p\ne q$% просты?

задан 6 Июл 5:24

Пусть a порождает Z_p. Тогда pa=0, где p можно считать элементом кольца (суммой p единиц). Поскольку a не равно нулю, имеем p=0. Аналогично, q=0. Это даёт 1=0 -- противоречие.

(6 Июл 10:47) falcao

Откуда 1=0? И почему кольцо не может быть нулевым? Оно не считается областью?

(6 Июл 18:09) Slater

@Slater: областью целостности считается кольцо, обладающее всеми основными свойствами кольца целых чисел. Это ассоциативность, коммутативность, наличие единицы (отличной от нуля!), и отсутствие делителей нуля. Но здесь даже это не важно, так как нулевое кольцо не может содержать ни Zp, ни Zq :)

Из равенств p=0 и q=0 следует 1=0, так как 1 раскладывается по взаимно простым числам (существуют целые u, v такие, что 1=pu+qv). Вообще, не лишне было бы повторить самые основные сведения из элементарной теории чисел.

(7 Июл 0:43) falcao

А на шаге p=0 разве не достигается противоречие факту, что p - простое?

(9 Июл 3:02) Slater

@Slater: нет, потому что здесь p означает сумму p единиц кольца (у меня это обстоятельство было отмечено). Такой элемент может быть нулевым в поле характеристики p. Но не бывает так, чтобы характеристика была равна и p, и q. Суть именно в этом, а остальное есть просто оформление.

(9 Июл 3:26) falcao

А когда говорится о $%\mathbb Z_p$%, имеется ли в виду, что образующая 1 (а не абстрактное а)?

Если p - обозначение суммы p единиц, то в правой части равенства p=0 стоит не число нуль, а единичный элемент по сложению группы (и кольца). Но когда мы применяем линейное представление НОД (я так понимаю, в целых числах, поскольку существование НОД в R не гарантировано), мы 1) полагаем p=q=0 (но ведь в представлении p и q - целые числа, не суммы единиц абстрактного кольца) и 2) приравниваем число 1 к нейтральному элементу абстрактного кольца. Этот момент меня смущает.

(9 Июл 3:36) Slater

@Slater: а там и было в начале абстрактное a. Потом было уравнение pa=0, где p=1+...+1 -- сумма p единиц кольца. Из отсутствия делителей нуля получили 1+...+1=0 (p раз). В правой части -- нулевой элемент (его не надо называть единичным -- в крайнем случае, можно говорить об элементе нейтральном).

Если есть два равенства вида 1+...+1=0 для p и q слагаемых, то от большей суммы "отрезаем" меньшую, а это алгоритм Евклида в чистом виде. На худой конец, можно использовать лемму о том, что 1=pu+qv для взаимно простых p и q. При домножении слева на единицу кольца, получим, что она равна нулю кольца.

(9 Июл 3:48) falcao

"а там и было в начале абстрактное a" Поэтому я и спросил: мне казалось, что когда пишут Z_p, предполагается, что образующая - целое число 1, а не абстрактное а. А когда пишут С_р, то образующая - абстрактное а.

Про домножение 1=pu+qv на единицу кольца мне понравилось.

(9 Июл 4:16) Slater

@Slater: в смысле обозначений оно так и есть, но в условии имеется в виду изоморфная копия Z_p и Z_q.

Лемму о разложении единицы, конечно, всегда можно применять при появлении взаимно простых чисел, но она в том или ином виде всё равно вытекает из алгоритма Евклида, то есть он в этом деле "первичен". Хотя понятно, что описывать бывает легче по-другому.

(9 Июл 4:26) falcao
показано 5 из 9 показать еще 4
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827

задан
6 Июл 5:24

показан
91 раз

обновлен
9 Июл 4:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru