Как проще всего доказать неприводимость $%2x^4+x+1$% над $%\mathbb Q$%?

задан 6 Июл 5:27

10|600 символов нужно символов осталось
2

Отсутствие рациональных корней легко проверяется. После этого можно рассмотреть разложение на множители с рациональными коэффициентами (неопределёнными). Составить систему, которая далее даст кубическое уравнение. Про него обычным способом проверяется, что рациональных корней нет.

Тот же эффект даёт применение метода Феррари. Если разложение есть, то метод его находит. Там тоже стандартным образом возникает вспомогательное кубическое уравнение, которое должно иметь рациональное решение. Здесь проверяется, что это не так.

Но это касается общих способов. Для данного в условии случая можно обойтись минимумом вычислений и проверок. Прежде всего, замена t=1/x позволяет свести задачу к случаю многочлена t^4+t^3+2 (читаем коэффициенты в обратную сторону). Преимущество в том, что старший коэффициент равен 1. Тогда все рациональные корни -- целые. Положительные можно не подставлять, чётные тоже. Тогда из делителей свободного члена остаётся лишь -1, что не подходит.

Теперь вспоминаем, что если такой многочлен приводим над Q, то он приводим и над Z. Произведение свободных членов равно 2. Значит, они имеют вид a и 2a, где a равно 1 или -1. Записываем разложение (t^2+pt+a)(t^2+qt+2a). Сравнение коэффициентов при t^3 даёт p+q=1. Для коэффициентов при t имеем a(q+2p)=0. Значит, q=-2p, p=-1, q=2. Тогда в (t^2-t+a)(t^2+2t+2a) коэффициент при t^2 равен 3a-2, и нулю он не равен.

ссылка

отвечен 6 Июл 11:50

А как обосновать, что f(x) неприводим iff f(1/x) неприводим?

(9 Июл 3:00) Slater

@Slater: ну, это уровень школьной программы! Достаточно заметить, что если f имеет степень n, то x^{n}f(1/x) есть многочлен с коэффициентами, прочитанными в обратном порядке.

(9 Июл 3:13) falcao

Мне понятна импликация f(x) приводим => x^{n}f(1/x) приводим (в данном случае только это и надо). Но в обратную сторону пока непонятно.

(9 Июл 3:26) Slater

@Slater: преобразование, при котором коэффициенты читаются наоборот, обратно себе самому. Поэтому и в ту, и в другую сторону всё следует.

Пронаблюдайте пример типа (2x+3)(5x+7)=10x^2+29x+21 и 21x^2+29x+10=(3x+2)(7x+5). Сразу всё должно стать ясно.

Вещи такого типа, как я уже говорил, постигают в школе (как и основы теории чисел), задолго до изучения абстрактной алгебры.

(9 Июл 3:31) falcao

Выясняется, что одна импликация в общем случае не только очевидна, но и неверна

https://math.stackexchange.com/a/1758769/437307


"Сравнение коэффициентов при t^3 даёт p+q=1" Опечатка, наверное? При t^3 коэффициент 0.

(9 Июл 4:07) Slater

@Slater: понятно, что свободный член следует считать ненулевым. В противном случае степень меняется при "переворачивании". Я на этом не делал акцента, так как у многочлена из условия свободный член ненулевой, и эти оговорки совершенно не нужны. Факт-то школьный сам по себе.

(9 Июл 4:29) falcao

А опечатка в части p+q=1 есть, или мне мерещится?

(9 Июл 4:34) Slater

@Slater: после того, как коэффициенты прочитали в обратную сторону (чтобы сделать старший коэффициент равным 1), получилось t^4+t^3+2. Коэффициент при t^3 равен 1.

(9 Июл 12:21) falcao
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827

задан
6 Июл 5:27

показан
121 раз

обновлен
9 Июл 12:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru