Доказать, что для каждого $%a\in \mathbb F_q$% уравнение $%x^n=a$% имеет решение, если $%(n,q-1)=1$%.

задан 6 Июл 5:36

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это элементарная теория чисел.

Пусть n и q-1 взаимно просты. Тогда nu+(q-1)v=1 для некоторых целых u, v. Заметим, что при a=0 уравнение имеет нулевое решение. Пусть a не равно 0. Тогда a^{q-1}=1 в поле из q элементов. Возводя a в степени и левой и правой части равенства, и с учётом только что упомянутого факта, имеем (a^u)^n=a, то есть x=a^u будет решением.

ссылка

отвечен 6 Июл 11:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

Чуть-чуть по-другому оформленное решение.

Для $%a=0$% утверждение верно. Пусть $%a\ne 0$%. Рассмотрим гомоморфизм циклических групп $$\phi: \mathbb F_q^\times\to \mathbb F_q^\times, x\mapsto x^n.$$Надо доказать, что он сюръективен, если $%(q-1,n)=1$%. Поскольку это отображение конечных множеств, сюръективность эквивалентна инъективности, и достаточно доказать, что он инъективен, если $%(q-1,n)=1$%.

Лемма. Ядро гомоморфизма $% C_m\to C_m, x\to x^r$% циклических групп имеет мощность $%(m,r)$%.

Док-во. Если $%x^k\to x^{kr}=0$%, то $%kr=m\alpha, \alpha \in\mathbb Z$%. Пусть $%d=(r,m)$%. Тогда $$\frac{r}{d}k=\frac{m}{d}\alpha.$$ Т.к. $%m/d$% делит $%rk/d$% и $%(r/d,m/d)=1,\ m/d$% делит $%k: k=\beta\frac{m}{d}$%. При $%\beta=0,1,\dots,d-1$% получаем $%d$% различных неединичных элементов $%x^k$%, которые лежат в ядре. $%\square$%

По лемме ядро $%\phi$% имеет порядок $%(q-1,n)$%. Он инъективен iff сюръективен iff $%(q-1,n)=1$%.

ссылка

отвечен 16 Июл 5:46

Одно уточнение: правильно ли я понимаю, что $%x^k$% при найденных $%k$% не равен единице потому что $%\beta/d$% не целое, и выражение $%(x^m)^{\beta /d}$% не имеет смысла?

(16 Июл 5:48) Slater

@Slater: у меня решение занимает три строчки и опирается на хорошо известные элементарные факты. У Вас оно существенно длиннее, и содержит много всяких обозначений, в которые надо вдумываться. Гораздо проще изучить в самом начале элементарную теорию чисел в требуемом объёме. Тогда утверждения этого типа станут очевидными.

(16 Июл 11:33) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,857

задан
6 Июл 5:36

показан
95 раз

обновлен
16 Июл 11:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru