Пусть $%F: G\to G$% - автоморфизм группы и $%F^n$% - итерация номер $%n, K_n=\ker F^n$%

  1. Пусть $%F:\mathbb Z_{16}^3 \to \mathbb Z_{16}^3, (x,y,z)\mapsto (2z,2x,8y)$%. Описать $%K_n$% как прямую сумму циклических групп
  2. Доказать, что если $%F$% - эндоморфизм $%S_5$%, то $%K_{n+1}=K_n$% при $%n\ge 2$%
  3. Привести пример, когда утверждение предыдущего пункта неверно при $%n=1$%
  4. Доказать, что в общем случае $%K_n=K_{n+1}\implies K_n=K_{n+i}$%

задан 6 Июл 6:11

изменен 6 Июл 18:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

В пункте 1 какое-то несоответствие. Там сказано про Z_{16}, но рассматриваются тройки.

В группе S5 есть только три нормальные подгруппы: {e}, A5, S5. Если ядро F единично, то для всех итераций это так. То же самое, если ядро равно всей группе. Если ядро равно A5, то образ изоморфен Z2. У этой группы подгруппа или единична, или это вся группа, и тогда с этого момента итерации стабилизируются, как и выше (или на A5, или на S5).

Первая итерация может быть не равна второй. А именно, пусть F переводит чётные подстановки в e, нечётные в (12)(34). Это гомоморфизм S5 на подгруппу, изоморфную Z2. Его ядро равно A5. При второй итерации и далее всё переходит в e, так как произведение двух транспозиций чётно.

Последний пункт лёгкий. Там имеют место вложенности K1 <= K2 <= ... , и достаточно заметить, что следующий член однозначно зависит от предыдущего. Тогда K(n)=K(n+1) влечёт K(n+1)=K(n+2), и так далее. Или так (на частном примере): пусть K(6)=K(7). Докажем, что это дело равно K(10). Берём элемент x из ядра F^{10}. Тогда F^3(x) принадлежит K(7). Тогда F^9(x)=e, и далее понижаем показатель.

ссылка

отвечен 6 Июл 12:08

Имелось в виду Z_{16}^3

(6 Июл 18:29) Slater

@Slater: я на это в итоге и подумал, но там совсем лёгкий пункт. F^2 имеет вид (x,y,z)->(0,4z,0), а F^3 уже нулевое. Поэтому ясно, что ядро F изоморфно Z2xZ2xZ8, для F^2 будет Z16^2xZ4, и далее вся группа Z16^3 будет ядром.

(6 Июл 23:18) falcao

Не понял. Если просто рассмотреть автоморфимзм Z_{16} x->4x, то ядром будут все элементы Z_{16}, кратные 4, т.е. 4(Z_{16}), или нет? Откуда взялся фактор Z4 в ядре F^2?

И в ядре F, наверное, опечатка - там две восьмерки где-нибудь должны быть.

(9 Июл 3:09) Slater

В ядре F^2 лежат векторы вида (x,y,z), где x,y любые, и z кратно 4. Понятно, что 4Z_{16} -- это циклическая подгруппа в Z_{16}, порождённая элементом 4 порядка 4. Она изоморфна Z4.

Опечатки нет, так как числа не меняются: 2x=0 <=> x кратно 8 <=> x принадлежит {0,8}, а это циклическая подгруппа порядка 2.

(9 Июл 3:22) falcao

Насколько я понимаю, если ядро равно S_5, то для всех итераций это так потому что K_n <= K_{n+1}. Но почему если ядро единично, то для всех итераций это так?

И что значит "стабилизируются на" в фразе "итерации стабилизируются или на A5, или на S5"?

(9 Июл 23:47) Slater

@Slater: если ядро F равно всей группе G, то F(g)=1 для всех g. Тогда F^n(g)=1 для всех n>=1, так как 1 переходит в 1 при эндоморфизме.

Если ядро единично, то эндоморфизм является инъекцией (и наоборот). Композиция инъекций есть инъекция. Поэтому все степени F инъективны и имеют то же единичное ядро.

Про бесконечную последовательность говорят, что она стабилизируется на a, если все её члены, начиная с некоторого, равны a. В этом смысле имелось в виду, что на S5 или A5 стабилизируются ядра итераций.

(10 Июл 0:14) falcao

Почему ядра стабилизируются на S_5 или А_5? Вторая итерация F^2: Z_2 -> S_5. Её ядро - или 0, или Z_2. Если 0, то все последующие ядра 0 по вышесказанному. Если Z_2, то образ F^2 - S_5/Z_2. Чему тогда ядро F^3 равно, пока непонятно.

(10 Июл 0:44) Slater

@Slater: обращаю внимание на то, что все итерации F^n суть отображения из G в G. Поэтому из Z2 ничего не отображается. Ядрами здесь могут быть только нормальные подгруппы в S5. Их всего три, и если у F ядро равно {e} или S5, то дальнейшее очевидно. Если же ядро F равно A5, то ядро F^2 предыдущее ядро содержит. Это либо A5, и тогда оно при всех остальных итерациях и останется, либо S5, и тогда все остальные итерации имеют ядро S5. То есть ker F^2=ker F^3=... по этой причине, а пример, когда ker F=A5, ker F^2=S5, я указал.

(10 Июл 1:07) falcao

"Это либо A5, и тогда оно при всех остальных итерациях и останется" Почему не может быть последовательности ядер A5,A5,S5,S5,S5,S5...?

"Поэтому из Z2 ничего не отображается" А как это согласуется с тем фактом, что область определения F^2 - это F(S5), и если K1 равно A5, то F(S5)=Z2, т.е. область определения F^2 должна быть F(S5)=Z2?

(10 Июл 1:15) Slater
1

@Slater: если даны отображения f:X->Y и g:Y->Z, то их композиция fog отображает X в Z. Композиция F:G->G с собой всегда даёт отображение из G в G. Область определения всегда G.

Последовательность A,A,S,... получиться не может, так как следующий член однозначно определяется предыдущим. Это было рассмотрено в последнем абзаце ответа.

(10 Июл 1:23) falcao
показано 5 из 10 показать еще 5
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,569

задан
6 Июл 6:11

показан
58 раз

обновлен
10 Июл 1:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru