Какие есть нетривиальные примеры того, что категория множеств не совпадает с дуальной к ней? В дуальной категории "стрелки" меняют направления, в категории множеств стрелка это функция, если нее поменять направление, то часто функции уже не будет... нужен нетривиальный хороший пример чтобы осознать несовпадение Set и дуальной к ней.

задан 6 Июл 14:02

изменен 6 Июл 14:25

Теперь можно спросить - если стрелки в дуальной категории к Set не функции, то как их мыслить? Может как-нибудь частично как функции... мыслить как никак наверное слишком простой ответ.

Более точно, как имея категорию явно вычислить стрелки дуальной категории? то есть можно ли формализовать прием "обращения стрелок"

(7 Июл 17:39) gekont
1

@gekont: в дуальной категории стрелки (морфизмы) будут соответствовать бинарным соответствиям вида $%f^{-1}$%, где $%f$% -- функция. Тут как бы ничего нового нет и быть не может, и устройство таких вещей всецело понятно. Поменять местами координаты упорядоченной пары -- вещь очень простая, и вряд ли можно заменить её на что-то ещё более элементарное.

(7 Июл 21:45) falcao

Глюк с ПО сайта? не дает вставить коммент в ответы... так что здесь пишу: поддерживаю "за строгость и изгнание абсурда" след. текстом! Отображение f:A->B это тройка (A,B,R), R-отношение такое, что для каждого x из A существует только один y из B с (x,y) из R. Опишем все функции из пустого L в произвольное А. Это тройки (А, L, R). При этом R оказывается пустым, так как пар (x,y) при x из L не существует. В результате для каждого А имеем тройку (L,A,L), такие тройки называются пустыми отображениями. дальше про функции в пустое.

(9 Июл 11:54) gekont

Опишем все функции из произвольного А в пустое L. То есть отыщем все тройки вида (A,L,R). Здесь R может быть только пустым, так как нет ни одной пары (x,y) с y из L. Итак, искомые тройки это (A,L,L). Случай (L,L,L) уже разобран. Итак, пусть А непустое и в нем есть элемент x. по определению тройки для этого х имеется у из L, чего не может быть. Таким образом в А нет элементов и остается один случай (L,L,L), описывающий все функции в пустое множество. Про стрелки в дуальной категории - для строгости смотрю книгу Хетчера, в Маклейне дуальность описана интуитивно... то есть нестрого.

(9 Июл 11:57) gekont
1

@gekont: я не понимаю, зачем так долго "переваривать" простые и очевидные вещи. В обоих комментариях повторено то, что было уже сказано много раз. При этом допущены опечатки. Когда рассматриваются отображения из пустого множества, то A равно L, а не B.

"Интуитивно" для меня означает "понятно", то есть это всегда хорошо :)

(9 Июл 12:30) falcao

Да, опечатался, надо подправить, но это я подвел итог обсуждениям по поводу пустых... "я не понимаю, зачем...", постараюсь пояснить - мы с вами разные (это неплохо), пока не увидел вывода утверждения даже если интуитивно ясно чувствую себя неуютно..., "оправдание" этому нашел у психологов, у них есть стандартный эксперимент: гипнотизируют испытуемого, внушают ему что видит квадратный круг, когда он уверился предлагают кусок мела и подойти к доске нарисовать то в чем он ИНТУИТИВНО уверен, испытуемый берет мел идет к доске начинает.. и просыпается от гипноза. Критерий Пирса см. далее.

(9 Июл 13:42) gekont

состоит в том, что проверка, что вера действительно есть это начало действий верующего (а не "болтовня"). Так что интуитивно можно верить в противоречивое, это медицинский факт. Маклейн и другие по дуальности и принципу двойственности ссылаются на логику но никто не привел честного рассмотрения, сидят на "интуитивно понятно", Хетчер не удовлетворился "интуитивно" дал первопорядковый язык для теории категорий там его теорема обосновывающая дуальнось с принципом двойственности.. смотрю, наверное здесь и будет честный ответ как строить дуальные стрелки...

(9 Июл 13:56) gekont

пишет что ограничение комментариев 600 символов наверное придется отдельный вопрос формулировать...

(9 Июл 13:59) gekont
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
1

В категории Set пустое множество обладает тем свойством, что в него входит ровно одна стрелка (из себя самого), по той причине, что не бывает отображений из непустого множества в пустое.

Если бы Set совпадала с дуальной, то в ней нашёлся бы объект с такими же свойствами после обращения стрелок. Это было бы множество, из которого не выходит стрелок никуда кроме самого себя. Но таких множеств нет, так как всегда имеется отображение из любого множества в любое одноэлементное.

ссылка

отвечен 6 Июл 14:37

в дуальной категории есть такой объект это 1, слово "совпадает" надо заменить на "изоморфна", наверное хорошим примером была бы дуальная к симплициальной, которую мы и так обсуждаем..., лучше сказать так - есть ли в Set подкатегория изоморфная дуальной к симплициальной?

(6 Июл 19:31) gekont

@gekont: слово "совпадает" я не сочинил, а взял из условия :) Конечно, тут всё имеется в виду с точностью до изоморфизма.

В категории, дуальной для Set (категории всех множеств) нет такого объекта, который бы обладал указанными свойствами. Что такое 1? Если это множество {0}, то из него существуют отображения во все множества кроме пустого.

Вы сейчас задали фактически новый вопрос, и над ним надо будет подумать отдельно.

(6 Июл 23:24) falcao

пустое множество наверное самое интересное из множеств..., а пустое отображение тем более... вот из пустого множества во всякое другое есть пустое отображение (вроде пар (x,y) где бы x был из пустого множества нет..., но нет пар таких чтобы y был из пустого множества - ну тогда есть пустое отображение из всякого множества в пустое... а вы говорите, что в пустое множество входит только одна стрелка - единичная) - итак в пустое множество есть стрелка из {0} ... да...

(7 Июл 1:59) gekont

@gekont: из непустого множества в пустое отображений не существует. Поэтому из {0} (непустое) в 0 (пустое) стрелок нет.

(7 Июл 2:26) falcao

вы доказали что из пустого множества существует в любое другое только пустое отображение, а как доказать что "из непустого множества в пустое отображений не существует"? или по другому, почему не подходит для этого пустое отображение?

(7 Июл 2:37) gekont

@gekont: это же очевидный факт! При отображении из A в B мы должны каждому элементу из A сопоставить некоторый элемент из B. Но A непусто, то есть там есть элемент a, которому что-то надо сопоставить, но сопоставить нечего, так как в B элементов нет. Пустое отображение тут уже не подходит (оно ведь должно быть определено на каждом элементе из A).

(7 Июл 3:07) falcao

Я бы это представил наглядно прибегнув к булеану (имеет смысл на ваш взгляд?). Пустое отображение можно мыслить как стрелку с областью и кообластью пустое множество. Это соответствует понятию отображения как набора стрелок в области и кообласти которых по одному "объекту". Поскольку пустое множество есть подмножество себя, то булеан пустого множества содержит один элемент само пустое множество. Всякое непустое в булеане имеет пустое и непустые подмножества, в частности, синглетоны. Отображение теперь суть набор стрелок синглетон-синглетон при условии, что охватывается ВСЯ область отображения.

(7 Июл 15:01) gekont

Имеет смысл говорить об образе отображения как элементе булеана кообраза стрелки.Теперь пустое множество отображается в любое с образом, который есть пустое множество. Наоборот. Отображение непустого в пустое при его построении имеет только одну осмысленную стрелку:пустое отображение пустого подмножества в булеане области в само пустое множество. Для синглетонов области стрелки синглетон-синглетон из-за отсуствия синглетонов в булеане пустого множества построить нельзя, так что и отображения построить нельзя из-за требования, чтоб ВСЕ синглетоны булеана области отобразились в булеан кообласти.

(7 Июл 15:06) gekont

Теперь мы имеем в дуальной к симплициальной категории стрелки, не являющиеся функциями: все объекты дуальной категории - множества, а вот стрелки, идущие от всякого множества к пустому множеству (это стрелки, полученные обращением пустых отображений пустого множества в другие множества), как мы доказали, не являются функциями.

(7 Июл 15:18) gekont
1

@gekont: Отображение непустого в пустое при его построении имеет только одну осмысленную стрелку: пустое отображение пустого подмножества в булеане области в само пустое множество.

Давайте всё-таки мыслить медленно и аккуратно. Что здесь сказано, если убрать лишние слова? Что отображение непустого в пустое можно мыслить как отображение пустого в пустое. Это явная нелепость. Предлагаю раз и навсегда осознать, что отображений непустого множества в пустое не существует, и мыслить их по этой причине мы не можем никак. Разве что на манер "круглого квадрата" :)

(7 Июл 16:37) falcao

Не, у психологов есть "квадратный круг" ...Я то как думаю - в булеане непустого сидят пустое, синглетоны и прочие подмножества. Когда мы строим (вы так и строили) функцию, то мы ее собираем из стрелок синглетон-синглетон. Набор таких стрелок можно отождествить наглядно с отображением. Пустое имеет стрелку в пустое так, что всё ОК с булеаном. Согласен, что мыслить "никак" тоже хороший прием... особенно в квантовой механике, где ничего не понятно (не в формализме, конечно, а в интерпретации).

(7 Июл 17:19) gekont

Теперь можно спросить - если стрелки в дуальной категории к Set не функции, то как их мыслить? Может как-нибудь частично как функции... мыслить как никак наверное слишком простой ответ.

Более точно, как имея категорию явно вычислить стрелки дуальной категории? то есть можно ли формализовать прием "обращения стрелок"

(7 Июл 17:39) gekont
1

@gekont: набор стрелок не определяет отображение (морфизм категории). Зная набор стрелок, мы можем восстановить область определения, но область значений может быть шире множества значений. Но это всё в любом случае ничего не даст по поводу отображений из непустого в пустое, которых нет в природе. Если не "круглый квадрат" (стандартный оксюморон), то можно привести пример "простого числа, кратного двум и трём". Его-то точно нет ни в каком смысле.

Вообще, я за то, чтобы из математики изгонять абсурд, а не наоборот.

(7 Июл 21:50) falcao
показано 5 из 13 показать еще 8
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,024

задан
6 Июл 14:02

показан
96 раз

обновлен
9 Июл 13:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru