$%T_1,T_2:\mathbb C^3\to \mathbb C^3$% - линейные операторы. Доказать, что если оба оператора имеют минимальный многочлен степени не больше 2, то у них существует общий собственный вектор

задан 6 Июл 23:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Приведём матрицу одного из операторов к жордановой форме. Собственные числа не могут быть попарно различны. Если они все одинаковы, то нет жордановой клетки размера 3. Тогда в жордановом базисе есть два вектора, которые под действием оператора переводятся в пропорциональные. Если два с.з. равны, а третье отличается, то жорданова клетка для двух совпадающих значений не может иметь размер 2. И тогда также имеются два вектора жорданова базиса, переходящие в пропорциональные.

Таким образом, у обоих операторов есть двумерные собственные подпространства. Они нетривиально пересекаются, что даёт общий собственный вектор.

ссылка

отвечен 7 Июл 1:28

Почему верны 4 и 5 предложения? Последнее предложение тоже непонятно.

(8 Июл 5:03) Slater

@Slater: степень минимального многочлена равна сумме степеней многочленов для блоков по каждому "лямбда" в отдельности. Если есть жорданова клетка порядка 2 для одного значения, и есть жорданова клетка порядка 1 для другого, то степень равна 3.

Последнее верно по построению: мы пересекли два пространства, каждое из которых собственное для одно и другого оператора (с.з. могут не совпадать).

По предложению номер 4: представьте себе такую матрицу и посмотрите на 1-й и 3-й векторы базиса.

(8 Июл 5:49) falcao

Когда мы пересекли два пространства, каждое из которых собственное для одно и другого оператора? В первом абзаце говорится только про 1 оператор. Рассмотреть пересечение можно, но непонятно, почему пересечение нетривиально.

Еще выяснилось, что я не понимаю, почему существуют векторы ж. базиса, переходящие в пропорциональные в обоих случаях. Надо сначала базис найти? Как?

Что я понял - так это то, что ЖНФ T_1 имеет вид [J_{2,a},b] (где J_{2,a} - ж. клетка размера 2 с с.з. а) или [a,a,b]. ЖНФ T_2 имеет такие же виды, но с другими с.з.

(9 Июл 2:17) Slater

@Slater: в начале доказано, что если оператор в C^3 обладает минимальным многочленов степени <=2, то у него есть собственное подпространство размерности 2. Это верно как для T1, так и для T2. Пусть V1, V2 -- пространства размерности 2. Из формулы dim(V1+V2)=dim(V1)+dim(V2)-dim(V1 n V2) следует, что пересечение нетривиально (всё вместе содержится в 3-мерном пространстве).

Базис там состоит из единичных векторов (матрица в нём имеет ж.ф.). Выпишите матрицу для обоих случаев, и убедитесь, что два базисных вектора из трёх переходят в пропорциональные с одним и тем же коэффициентом.

(9 Июл 2:40) falcao

Правильно я понимаю, что в случае [J_{2,a},b] есть два 2-мерных инв. подпространств - пр-во натянутое на e_1,e_3 и натянутое на e_1,e_2; в случае [a,a,b] 2-мерное подпр-во - любое пр-во, натянутое на e_i, e_j где i не равно j и i,j лежат в {1,2,3}?

Если мы знаем, что пересечение 2-мерных подпространств нетривиально, то зачем нужно было замечать что-то про векторы жоржанового базиса?

"убедитесь, что два базисных вектора из трёх переходят в пропорциональные" Это верно для стандартного базиса, но он же не должен быть базисом, в котором операторы имеют ЖНФ?

(9 Июл 2:55) Slater

Кажется, я перепутал собственное и инвариантное подпространство, так что первый абзац предыдущего комментария не релевантен.

(9 Июл 3:13) Slater

@Slater: в одном случае, когда все с.з. равны a, подходят первый и третий векторы стандартного базиса. Под действием матрицы они умножаются на a. Если матрица произвольна, то нахождение жорданова базиса требует вычислений. Если же она уже жорданова, то стандартный базис будет жорданов.

Если с.з. равны a,a,b, то матрица диагональна, и надо взять первые два вектора.

Пересечение двух 2-мерных пространств ненулевое, но на интересуют собственные векторы для того и другого оператора. Поэтому пересекаем не какие попало подпространства.

(9 Июл 3:18) falcao
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,569
×972

задан
6 Июл 23:56

показан
41 раз

обновлен
9 Июл 3:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru