Пусть $%\alpha$% - вещественный корень $%x^3-2$%, $%\beta$% - комплексный. Лежит ли $%\alpha$% в $%\mathbb Q[\beta]$%?

У нас $%\alpha=\sqrt[3]{2}$%. Комплексных корня два - $%\xi=\alpha e^{2\pi i/3}, \alpha\xi^2$%. Надо рассматривать 2 случая для $%\beta$%? И потом записывать $%\alpha=a+b\alpha\xi$%, возводить в куб, применять $%\xi^2=-1-\xi$% и получать противоречие тому, что $%\xi$% - не вещественное?

задан 7 Июл 0:16

1

Наверное, можно проще. Каждый корень уравнения x^3-2=0 имеет степень 3 над Q. В частности, это верно для мнимого корня beta. Если alpha лежит в Q(beta), то там же лежит exp(2пi/3). Это алгебраический элемент степени 2, он порождает расширение степени 2. Но оно в расширении степени 3 содержаться не может.

(7 Июл 0:37) falcao

Надо для беты 2 варианта рассматривать по отдельности? Конкретно это решение работает только для beta=xi ?

(9 Июл 5:35) Slater
1

@Slater: элементы exp(2пi/3) и exp(-2пi/3) взаимно обратны. Если один из них принадлежит полю, то принадлежит и другой. Поэтому нет необходимости рассматривать два случая.

(9 Июл 12:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,569

задан
7 Июл 0:16

показан
31 раз

обновлен
9 Июл 12:25

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru