Назовём натуральный делитель $%d$% натурального числа $%n$% фаталистическим, если $%d+2$% тоже является делителем числа $%n$%.

Может ли оказаться так, что более половины всех натуральных делителей числа $%n$% являются фаталистическими?

задан 7 Июл 18:47

10|600 символов нужно символов осталось
1

Если число фаталистических делителей $%n$% больше половины, то найдётся такой делитель со свойством $%d\ge\sqrt{n}$%, так как у любого делителя $%< \sqrt{n}$% имеется дополнительный делитель, который $%> \sqrt{n}$%. В случае нечётного $%d$% числа $%d$% и $%d+2$% взаимно просты. В этом случае $%n$% делится на их произведение, и $%n\ge d(d+2) > d^2$%. Таким образом, $%d$% чётно, и $%n$% также чётно.

Мы знаем, что $%\frac{n}2$% делится в этом случае и на $%\frac{d}2$%, и на $%\frac{d}2+1$%. Тогда имеет место делимость и на их произведение ввиду взаимной простоты. Если допустить, что частное не равно 1, то оно не меньше 2, и тогда мы снова имеем $%n\ge d(d+2)$%. Поэтому осталось рассмотреть единственный случай $%n=\frac{d(d+2)}2$% для чётного $%d$%. Здесь $%d=\sqrt{2n+1}-1$% единственным образом выражается через $%n$%, то есть фаталистический делитель со свойством $%d\ge\sqrt{n}$% может быть только один.

Ясно, что случай $%n=d^2$% означает $%d=2$%, но у числа 4 делителей три, а фаталистический только один. Если $%n$% является точным квадратом, то $%\sqrt{n}$% уже не будет фаталистическим делителем. Поэтому получается, что все делители, строго меньшие $%\sqrt{n}$%, должны быть фаталистическим, причём $%n$% не является квадратом. В этом и только в этом случае, с учётом $%d$%, фаталистических делителей будет больше половины.

Легко понять, что такое положение дел невозможно. В самом деле, пусть $%k$% -- наименьшее натуральное, которое больше $%\sqrt{n}$%. Тогда $%n$% делится на все числа от $%1$% до $%k+1$% включительно. Здесь $%k-1 < \sqrt{n}$% всё ещё фатальный делитель, поэтому $%n$% делится на $%k+1$%. Числа 1 и 2 -- делители $%n$%, и пока число не превысило квадратного корня, можно прибавлять по 2, получая делители.

Теперь противоречие налицо: $%n$% делится и на $%k$%, и на $%k+1$%, откуда $%n\ge k(k+1) > k^2$%.

Числа, у которых фаталистических делителей ровно половина, имеется четыре: это 3, 12, 15, 24. Чуть усилив предыдущие рассуждения, можно показать, что других нет.

ссылка

отвечен 8 Июл 2:32

@falcao, очень большое спасибо! Для хорошей олимпиады сгодилась бы задачка...

(8 Июл 16:21) Казвертеночка

@Казвертеночка: да, вполне!

(8 Июл 18:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×733
×28
×10

задан
7 Июл 18:47

показан
81 раз

обновлен
8 Июл 18:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru