|
Участь в школе я не задался этим вопросом. Сейчас учусь в универе, на прикладной математике. Моя подруга- попросила решить логорифмическое неравенство, я начал описывать ОДЗ, и меня смутило то, что я принял, на мой взгляд не очевидную вещь за правду:
Да, прекрасно. Но как можно объяснить, что уравнение Имеет тривиальное решение: х=2. Я было подумал-
Но Нигма.рф заставила меня усомниться еще больше!-она выдала мне комплексное решение. Да, наверное этого и стоило бы ожидать, но я не понимаю, почему корень x=2 не является решением данного уравнения? задан 12 Апр '13 21:39 
Андрей Алексеев |
|
Здесь всё достаточно просто. Существуют школьные определения, и на них следует смотреть не как на "истины", а как на принятые соглашения. Как, например, принято у нас ездить по правой стороне дороги. А в каких-то других странах принято ездить по левой. Можно ли поехать по другой стороне? Да, можно. Но с нарушением правил, и с риском попасть в аварию. Поэтому ставить вопрос о том, что правила говорят "ложь", нельзя. Можно разве что задаться вопросом, почему они такие, а не иные. Почему в школе не разрешено рассматривать логарифмы по отрицательным основаниям? Потому, что логарифм рассматривается как функция, обратная экспоненте. А экспоненциальная функция $%y=(-5)^x$% не может быть рассмотрена как определённая на всей числовой прямой функция с вещественными значениями. Например, при $%x=1/2$% у этой функции значение не будет определено. При том, что $%(-5)^2=25$%. Логарифм по основанию $%1$% также не рассматривается, поскольку функция $%y=1^x$% хотя и может быть рассмотрена, но она не имеет обратной. Вообще, какое-то равенство типа $%y=\sin x$% нельзя трактовать как $%x=\arcsin y$%, потому что в общем случае это не согласуется с определением функции арксинус. Что касается комплексной области, то и там не всё так просто. Дело в том, что $%e^{2\pi i}=1$%, а потому у натурального логарифма оказывается много значений (ветвей). Когда задаётся аналитическая функция, то выбирается подходящая область определения, и на ней выбирается подходящая ветвь, что не всегда можно сделать. Например, трудности могут возникать с квадратным корнем вблизи нуля. отвечен 12 Апр '13 22:08 
falcao Большое спасибо, за столько доступный ответ!
(12 Апр '13 22:16)
Андрей Алексеев
|
|
В любой серьезной науке есть базовые понятия и определения. Математика - наука серьезная, значит и ей это присуще. Есть ряд задач, которые приводят к понятию логарифма на множестве действительных чисел. Например, задача нахождения решений уравнения $%a^x=b,a\ne1$% на множестве действительных чисел. Но, как Вы наверное помните, основание степени с действительным показателем должно быть положительным (объяснение этому можно найти даже в учебнике для 10-го класса). Если $%a=1,$% то уравнение приобретает вид $%1=b$% и здесь все ясно. В общем же случае, решение уравнения $%a^x=b,a\ne1$% и условились называть логарифмом числа $%b$% по основанию $%a$%. Вторая задача - существование и выражение обратной функции для показательной функции на множестве действительных чисел. Условности и ограничения в любой науке необходимы и неизбежны. отвечен 12 Апр '13 22:15 
Anatoliy |