Доказать, что автоморфизм кольца $%\mathbb R$% оставляет на месте $%\mathbb Q$% и положительные числа и вывести, что любой автоморфизм тривиален.

задан 10 Июл 3:39

10|600 символов нужно символов осталось
1

Это классическая задача.

ф(1)=1 => ф(n)=n -- все натуральные на месте.

ф(0)=0, ф(-n)=-ф(n)=-n -- все целые на месте.

Если x=ф(1/n), то nx=nф(1/n)=ф(1)=1 => x=1/n. Тогда ф(m/n)=mф(1/n)=m/n -- все рациональные на месте.

Если x < y, то существует z такое, что z^2=y-x, и z не равно нулю. Тогда ф(y)-ф(x)=ф(z)^2 > 0, то есть ф(x) < ф(y). Это значит, что ф сохраняет порядок.

Всякое иррациональное число x однозначно определяется сечением Дедекинда -- теми рациональными q, которые меньше x. Для разных x эти множества разные. Поэтому, если все рациональные остались на месте под действием ф, то и x останется на месте.

Вместо сечений можно рассмотреть отрезки с рациональными концами, пересечение которых даёт x (деление пополам). Отрезки на месте => их пересечение не меняется.

ссылка

отвечен 10 Июл 3:54

Последняя часть изначально была не очень понятно, но нашел устраивающее меня объяснение здесь http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/autRandQp.pdf

(16 Июл 7:56) Slater

@Slater: это ровно то же самое. Один из способов получить рациональные приближения снизу и сверху -- это как раз деление отрезка пополам. Вообще, строить систему действительных чисел (из Q) можно многими способами, и от этого зависит, какое обоснование проще работает.

(16 Июл 10:48) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,827

задан
10 Июл 3:39

показан
82 раза

обновлен
16 Июл 10:48

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru