0
1

Найти минимальный многочлен $%\sqrt[5]{2}$% над $%\mathbb Q(\sqrt{3})$%

задан 10 Июл 7:51

10|600 символов нужно символов осталось
1

Естественным кандидатом на эту роль является многочлен $%x^5-2$%. Надо доказать, что он неприводим над $%\mathbb Q(\sqrt3)$%. Предположим, что он приводим. Тогда один из сомножителей в разложении имеет степень 1 или 2. Все комплексные корни многочлена 5-й степени по модулю равны $%\sqrt[5]2$%. По теореме Виета получится, что модуль свободного члена одного из множителей равен $%\sqrt[5]2$% или $%\sqrt[5]4$%, и это число принадлежит полю $%\mathbb Q(\sqrt3)$%. Покажем, что так быть не может.

Предположим, что нашлись рациональные $%a$%, $%b$%, для которых $%a+b\sqrt3$% в 5-й степени равно 2 или 4. Возведём это число в 5-ю степень, раскроем скобки по биномиальной формуле, и посмотрим на коэффициент при $%\sqrt3$%. Он равен $%b(5a^4+30a^2b^2+9b^4)$%. Это число должно быть равно нулю, если 5-я степень рациональна. Выражение в скобках равно нулю только при $%a=b=0$%. Значит, $%b=0$%. Но тогда получается, что $%a^5$% равно 2 или 4, чего при рациональном $%a$% быть не может.

ссылка

отвечен 10 Июл 14:44

А если так? Рассмотрим расширение $%K=\mathbb Q(\sqrt 3,\sqrt[5] 2)$% и заметим, что его степень над $%\mathbb Q(\sqrt 3)$% не превосходит 5 и делится на 5. (Последнее верно потому что если обозначить ее через $%n$% и обозначить степень $%[K:\mathbb Q(\sqrt[5] 2)]$% через $%k$%, то $%5k=2n$%, т.е. $%2n$% делится на $%5$%, и т.к. $%(2,5)=1,\ n$% делится на 5.) Тогда степень равна 5, и мин. многочлен $%\sqrt[5] 2$% имеет степень 5 над $%\mathbb Q(\sqrt 3)$%. Поскольку мин. многочлен единственен, то он равен $%x^5-2$%.

(16 Июл 22:10) Slater
1

@Slater: да, так было бы проще, наверное. Степень K над Q делится и на 2, и на 5, так как K содержит расширения соответствующих степеней. Этого соображения здесь достаточно.

(16 Июл 23:19) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,711

задан
10 Июл 7:51

показан
71 раз

обновлен
16 Июл 23:19

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru