|
Можно ли как-то найти все такие натуральные числа $%x,y,z$%, что $%1+x^2+y^2=z^2$% ? Четверка $%(1,x,y,z)$% является примитивной пифагоровой четверкой. Параметризация для всех примитивных пифагоровых четверок хорошо известна и описана в википедии ( https://ru.wikipedia.org/wiki/Пифагорова_четвёрка ). Но мне нужна параметризация именно для пифагоровых четверок, содержащих единицу. Полагаю, это должно быть известным фактом, но не мне известным. задан 10 Июл '18 22:49 
Witold2357 |
|
Судя по всему, параметрического описания здесь не существует (косвенные аргументы в пользу этого см. ниже), но некоторое "порождающее" описание дать можно. Легко видеть, что в уравнении $%1+x^2+y^2=z^2$% оба числа $%x$%, $%y$% должны быть чётными, так как в противном случае получается остаток от деления на 4 у правой части, равный 2 или 3. Следовательно, $%x^2+1=z^2-y^2=(z-y)(z+y)$% есть разложение в произведение двух нечётных множителей. Рассматривая чётные числа в качестве значений $%x$%, мы имеем нечётное число $%x^2+1$% и рассматриваем все его представления в виде $%d_1d_2$%, где $%d_1 < d_2$%. По каждому такому разложению мы находим $%y=\frac{d_2-d_1}2$% и $%z=\frac{d_2+d_1}2$%. Скажем, при $%x=12$% получается число $%x^2+1=145$%, которое двумя способами раскладывается на множители, и получаются значения $%(y,z)$%, равные $%(12,17)$% и $%(72,73)$%. Поскольку разложение с условием $%d_1=1$% возможно всегда, мы для каждого $%x=2k$% получаем тройку $%(2k,2k^2,2k^2+1)$%. Этой бесконечной серией все тройки, конечно, не исчерпываются. Но следует заметить, что вопрос о простоте чисел вида $%x^2+1$% (конечно их число или бесконечно) известен ещё со времён Евклида, а специфика описываемых троек от этого зависит. Далее, последовательность чисел, которые могут быть значениями $%z$%, имеется здесь, однако никакой общей информации в комментариях не приводится. В частности, там нет параметрического описания. Кроме того, задача описания равносильна тому, что произведение $%\frac{z-1}2\cdot\frac{z+1}2$% двух последовательных, а потому и взаимно простых чисел, представимо в виде суммы двух квадратов. Отсюда с использованием известного критерия представимости можно вывести, что сами сомножители должны представляться в виде суммы двух квадратов. Эта последовательность рассмотрена здесь, но кроме нескольких начальных членов общей информации там тоже не имеется. Наконец, если брать за основу общее параметрическое описание примитивных пифагоровых четвёрок, то возникает уравнение вида $%m^2+n^2-p^2-q^2=1$% родственного типа, но оно сложнее исходного. В заключение заметим, что можно указать и другие бесконечные параметрические серии. Например, при $%x=10t+2$% число $%x^2+1$% делится на 5, откуда получается разложение на множители и тройка $%(10t+2,10t^2+4t-2,10t^2+4t+3)$%. А также $%(10t-2,10t^2-4t-2,10t^2-4t+3)$%. Аналогичные серии возникают, если вместо 5 брать 13, и так далее. отвечен 11 Июл '18 0:58 
falcao |
|
Вот придумал серию, которая содержит $%1$%, но она содержит не все четверки с $%1$%: $$x = 2n, y = 2n^2, z = 2n^2+1$$ здесь $%n$% это любое натуральное число отвечен 2 Ноя '21 21:03 
Crystaly @Crystaly: см. пятый абзац из ответа выше. Там эта серия уже указана (с заменой n на k).
(2 Ноя '21 21:11)
falcao
Да точно. Прохлопал.
(2 Ноя '21 23:22)
Crystaly
|
|
Для уравнения... $$X^2+Y^2=Z^2-1$$ Да и вообще для очень многих уравнений, параметризация сводиться к решениям некоторого уравнения Пелля. В данном случае к такому, где $%k$% может быть рационально. $$p^2-2k(k-1)s^2=1$$ Ну и решения запишем...... $$X=2kps-2(k-1)s^2$$ $$Y=2(k-1)ps+2ks^2$$ $$Z=p^2+2(k^2-k+1)s^2$$ И ещё формулка... Распадается на два вида решений: $$X=2p^2-2(3k-2)ps+2(2k-1)(k-1)s^2$$ $$Y=2p^2-2(3k-1)ps+2k(2k-1)s^2$$ $$Z=3p^2-4(2k-1)ps+2(3k^2-3k+1)s^2$$ Хотя для любого числа можно записать решение....... надо только выбрать любой делитель. $$X=k$$ $$Y=\frac{1}{2}(\frac{k^2+1}{a}-a)$$ $$Z=\frac{1}{2}(\frac{k^2+1}{a}+a)$$ отвечен 11 Июл '18 9:09 
Individ |