Рассмотрим систему: $$(uv)^4+(u+s)^3+t=0 \\ \sin(uv)+e^v+t^2-1=0$$ Доказать, что вблизи $%0\in \mathbb R^4$% ее решения образуют график непрерывно дифференцируемой $%G:\mathbb R^2\to \mathbb R^2$%. Указать зависимые и независимые переменные.

Я применяю теорему о неявной функции к $%F:\mathbb R_u\times \mathbb R_v\times \mathbb R_s\times \mathbb R_t\to \mathbb R^2$% $$(u,v,s,t)\mapsto((uv)^4+(u+s)^3+t,\sin(uv)+e^v+t^2-1).$$

Имеем $%F(0)=0$%. Якобиан $%F$% по $%v,t$% в нуле равен $%-1$%, поэтому существует непрерывно дифференцируемая $%g=(g_1,g_2): U\subset \mathbb R_u\times \mathbb R_s\to \mathbb R^2$%, $%g(0,0)=0$% и для всех $%(u,s)\in U$%, $$F(u,g_1(u,s),s,g_2(u,s))=0$$

Это всё что говорит теорема. А что такое $%G$%, и как ответить на исходный вопрос?

задан 11 Июл 2:15

А это, случайно, не будет g? Только там отображение в окрестности, поэтому оно не из всего R^2, а из открытого подмножества.

(11 Июл 2:19) falcao

У меня тоже подозрения на g=G (других кандидатов нет), но почему решения образуют график g? И что значит "образуют график"?

(11 Июл 2:24) curl

@curl: график отображения из R в R состоит из пар чисел. График отображения из R^2 в R^2 -- из четвёрок. Это 4-мерные вектора, подставляемые в F. Правда, я не знаю, через что там удобнее выражать. Может, через u и v. Но эти слова никакого глубокого смысла не имеют.

(11 Июл 4:21) falcao

В смысле что там удобнее выражать? Я пробовал считать якобианы по другим переменным, они вроде бы нулевые получаются, только этот ненулевой. Ну вот выразились v,t через u,s, а почему отсюда следует, что решения образуют график g?

(11 Июл 4:23) curl

@curl: если Вы описали решения уравнения F=0 в некоторой окрестности в виде F(a,G(a))=0, где a -- двумерный вектор, и G -- функция из окрестности R^2 в R^2, то это и значит, что решения образуют график G. Ведь график любой функции G есть множество упорядоченных пар вида (a, G(a)), где пробегает область определения.

Я думаю, что здесь по содержанию надо было проверить выполнение условий теоремы о неявной функции. Остальное -- чисто словесное обрамление.

(11 Июл 9:56) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,707

задан
11 Июл 2:15

показан
79 раз

обновлен
11 Июл 9:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru