Пусть $%S$% верхняя полусфера радиуса $%r>0$% с центром в нуле $%\mathbb R^3$%. Пусть $%F:\mathbb R^3\to \mathbb R^3$% $$F(x,y,z)=(xy^2\tanh(x^2+z),x+y^4e^{-x^2}\sin z,x^2(x^2+3)ye^{-x^2-y^2-z^2})$$ Найти $$\int_S \operatorname{curl}(F) \cdot n \ dS$$ где $%n$% - внешняя единичная нормаль.

Какая стратегия решения? Напрямую считать curl и нормаль?

задан 11 Июл 3:37

Это какая-то серия задач, которая уже не раз встречалась. Последний раз -- не так давно.

Там надо дополнить поверхность до замкнутой и применить Гаусса - Остроградского. Выражения так подобраны, чтобы была симметрия, из соображений которой многие слагаемые дают нулевые интегралы. За этим надо проследить, а если что-то окажется ненулевое, то оно должно считаться просто.

(11 Июл 4:17) falcao

Если дополнить до замкнутой и воспользоваться, что div(curl(F))=0, то получится, что искомый интеграл равен минус интегралу от curl(F)*n dS по диску радиуса r в плоскости z=0?

(11 Июл 4:21) curl

@curl: да, наверное. Тут сложные выражения подобраны так, чтобы не надо было считать всё в явном виде, а использовалась симметрия.

(11 Июл 9:58) falcao

Мне эта "симметрия" не дает покоя еще с одного из предыдущих вопросов. Вот интегрируем мы $$\cos t\sin^3 t\tanh(r^2\cos^2t)$$ по $%[0,2\pi]$%. Это нечетная функция, интеграл по ней по симметрическому промежутку был бы равен нулю. Тут интеграл не по симметрическому промежутку. Как увидеть, что он все равно равен нулю без вычисления интеграла?

(11 Июл 22:12) curl
1

@curl: там симметрия относительно точки п за счёт того, что f(п+x)=f(п-x).

(11 Июл 22:23) falcao

Тогда здесь надо применить теорему Стокса и воспользоваться этим, ответ получается $%\pi r^2$%

(12 Июл 2:44) curl
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
0

По теореме Стокса, интеграл равен

$$\int_S \text{curl } F \cdot n \,dS = \oint_C F \cdot d \ R $$

где $%C$% окружность радиуса $%r$% с центром в нуле в плоскости $%z=0$%.

Пусть $%R(t)=(r\cos t, r\sin t, 0)$%, заменяем $%F\cdot d \ R$% на $%F(R(t))\cdot R'(t) \ dt$%. Интеграл получается равен

$$\int_0^{2\pi} -r^4\cos\theta \sin^3 \theta \tanh(r^2 \cos^2 \theta) dt + \int_0^{2 \pi}r^2 \cos^2 t dt \\ = 0 + \,r^2\int_0^{2\pi}\cos^2 tdt = \pi r^2$$

ссылка

отвечен 12 Июл 2:51

изменен 12 Июл 3:01

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,626

задан
11 Июл 3:37

показан
82 раза

обновлен
12 Июл 3:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru