Для $%p,q\in \mathbb R^3$%, пусть $%|p|$% и $%p\times q$% - евклидова норма и векторное произведение соотв. Определим метрику $%d: \mathbb R^3\times \mathbb R^3 \to [0,\infty)$% $$d(p,q)=|p|+|q| \text{ if } p\times q\ne 0 \\d(p,q)=|p-q| \text{ иначе }$$

Доказать, что замкнутый единичный шар с центром в нуле в этой метрике не $%d$%-компактен, а с центром в $%(1,1,1)$% - $%d$%-компактен.

задан 11 Июл 4:28

Интересная метрика! Я пока не знаю ответа, но точно ли не наоборот?

(11 Июл 11:31) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
2

Выберем на единичной сфере (обычной) бесконечно много точек. Точки этой сферы находятся на d-расстоянии 1 от нуля. Но d-расстояние между любыми двумя точками p, q на сфере равно |p|+|q|=2. Отсюда вытекает отсутствие компактности. Действительно, при eps < 1 не существует конечной eps-сети в шаре. Любой элемент сети находится на расстоянии <=eps не более чем от одной точки нашего множества, а оно бесконечно.

Пусть p=(1,1,1), и q -- точка шара, для которой p, q не коллинеарны. Тогда расстояние равно |p|+|q| >= sqrt(3) > 1, то есть шару единичного d-радиуса могут принадлежать только точки прямой, проходящей через 0 и p. Для точек этой прямой d-расстояние совпадает с обычным. Получается отрезок прямой, а он компактен.

ссылка

отвечен 11 Июл 15:55

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,707

задан
11 Июл 4:28

показан
100 раз

обновлен
11 Июл 15:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru