Предположим, что $%\sum a_n$% сходится условно, $%\sum b_n$% сходятся абсолютно. Верно ли, что $%\sum a_n=\sum b_n+\sum c_n$% (который сходится условно) не сходится абсолютно?


На самом деле, оригинальный вопрос просит доказать, что $%A=\sum (e^{(-1)^n/n}-1)$% сходится, но не абсолютно.

$%e^{(-1)^n/n}-1=(-1)^n/n+O(1/n^2)$% при $%n\to \infty$%

$%A=\sum(-1)^n/n+\sum O(1/n^2)$%. Ряды по отдельности сходятся, значит ряд, являющийся их почленной суммой сходится.

Но $%\sum1/n$% расходится. Как именно отсюда вывести абсолютную расходимость исходного ряда?

И вопрос, который возникал ранее, равенство $%e^{(-1)^n/n}-1=(-1)^n/n+O(1/n^2)$% верно же только при $%n\to \infty$%, тогда как лучше записать всё это?

задан 12 Июл 2:43

изменен 13 Июл 2:09

Не очень понятен вопрос, что спрашивается? Доказательство теоремы, что если $%a_n = b_n + c_n$% и $%c_n$% сходится абсолютно, то ряды $%a_n$% и $%b_n$% ведут себя одинаково?

(12 Июл 13:11) no_exception

Вывести, используя теорему, что я написал выше. Или рассуждения вроде: исходный ряд сходится, как сумма сходящихся рядов. Если исходный сходится абсолютно, то $%|(-1)^n/n| \leq |1/n^2| + |e^()....|$% и ряд $%|(-1)^n/n|$% должен сходиться абсолютно. Но это не так

(13 Июл 11:17) no_exception

@curl: у Вас общий вопрос сформулирован неправильно. Про ряд c(n) там ничего не сказано, и он не нужен. А то, что ряд из a(n) не сходится абсолютно, следует из факта его условной сходимости.

На самом деле нужно следующее. Если ряды из a(n), b(n) сходятся абсолютно, то их сумма (разность) тоже сходится абсолютно. Ряд из (-1)^n/n сходится условно, к нему прибавили абсолютно сходящийся ряд из O(1/n^2). Получится ряд, который сходится, но не абсолютно (так как вычитая из его второй, получаем первый, а он сходится только условно).

(13 Июл 12:51) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,553

задан
12 Июл 2:43

показан
37 раз

обновлен
13 Июл 12:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru