Доказать, что система диофантовых уравнений не имеет решений в натуральных числах $%m,n,a,b,c,d$% $$\begin{cases} 2m^2+1=a^2+b^2, \\ 2n^2+1=c^2+d^2, \\ ac-bd=1. \end{cases}$$

задан 12 Июл 21:43

Сложноватая штучка. Может лучше по другому задачу поставить? Свести эту систему к 2 уравнениям. Её решить и потом выяснить при каком параметре может быть одно любое уравнение равно 1?

(13 Июл 9:28) Individ
10|600 символов нужно символов осталось
0

Сложив 2 первых уравнения и прибавив удвоенное третье, получим $$ 2(m^2 + n^2) = (a - c)^2 + (b + d)^2, $$ откуда либо $%a - c$% и $%b + d$% должны быть одновременное четными, либо одновременно нечетными.

Одновременно четными они могут быть в двух случаях: все числа четные или все нечетные. Оба эти случаи не подходят, так как первое и второе уравнения системы говорят, что числа $%a, b$% и $%c, d$% -- разной четности.

Если они одновременно нечетные, то в паре $%a, c$% и в паре $%b, d$% одно число четное, а другое -- нечетное. Тогда произведение $%ac - bd$% четное, что противоречит последнему уравнению.

ссылка

отвечен 13 Июл 11:14

@no_exception: а почему не может быть так, что a,c чётны, b,d нечётны?

(13 Июл 12:43) falcao

@falcao, а это я прозевал. Тогда пока не знаю.

(13 Июл 13:03) no_exception
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,020
×724
×650
×213
×4

задан
12 Июл 21:43

показан
106 раз

обновлен
13 Июл 13:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru