Последовательность $%\{a_n\}$% натуральных чисел определена следующим образом: $$a_0\in\mathbb{N},\quad a_{n+1}=2a_n+1$$ Могут ли все члены этой последовательности являться составными числами?

задан 14 Июл '18 0:16

изменен 14 Июл '18 10:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Подозреваю, что задача "нерешабельная". Прежде всего, можно считать, что рассматриваются числа вида $%2^na-1$%, где $%a$% -- фиксированное натуральное. Если ответ отрицательный, то отсюда сразу следует бесконечность множества простых чисел Мерсенна. Что же касается возможности положительного ответа, то подбор $%a$% вряд ли можно осуществить так, чтобы числа последовательности предсказуемо делились на что-то типа 3, 5, 7, ... и т.п. Скажем, при $%a=59$% сначала идёт много составных чисел, а потом появляется простое число 241663. При других $%a$% простые числа появляются в последовательности ещё раньше.

Хорошим примером также может служить $%a=109$%. Там где-то близко к началу имеется простое число, но оно всего одно, и можно домножить $%a$% на некоторую степень двойки. Дальше появляются числа, делящиеся то на 3, то на 7, то на 19 и т.п., но маленькие делители можно обнаружить не всегда. Более того, простые числа там потом всё-таки появляются -- например, $%2^{149}\cdot109-1$%, если верить Maple.

ссылка

отвечен 14 Июл '18 2:15

изменен 14 Июл '18 2:25

@falcao, это общая проблема, т. е. для всех $%a $%? Интересно, что 1) для любого $%N $% можно подобрать такое $%a $%, что число подряд следующих составных чисел в последовательности не менее $%N $%; 2) для любого $%k>1$% можно подобрать такое $%a $%,, что каждое $%k$%-е число будет составным.

(14 Июл '18 2:49) Urt
2

Если я не ошибаюсь, то это открытая проблема и вроде бы даже есть гипотеза, которую я, к сожалению, не нашел.

(14 Июл '18 7:40) Williams Wol...
2

@Urt: наиболее разумная гипотеза состоит в том, что во всякой такой последовательности имеется бесконечно много простых. Но это сильнее утверждения о бесконечности множества простых чисел Мерсенна.

Надо заметить, что если простые числа встречаются только в начале, то мы умножаем число a на подходящую степень двойки.

(14 Июл '18 9:50) falcao

@falcao, большое спасибо! Открытая, стало быть проблема. Пойду перемечу.

(14 Июл '18 10:41) Казвертеночка
1

@falcao, мне тут только что подсказали, что есть такая фишка, называется Числа Ризеля...

(14 Июл '18 10:47) Казвертеночка
1

@Казвертеночка: как интересно! Неожиданно то, что такие числа всё же существуют -- пусть и достаточно большие. Мне с трудом верилось в возможность "покрытия", то есть такого явления, когда всякое из чисел последовательности делится на что-то "предсказуемое".

(14 Июл '18 10:58) falcao
2

Да, оказывается есть гипотезы и даже две, но они не совсем об этом, а о минимальном таком k. Немного проглядела моя память. (Как уже отметили выше)

(14 Июл '18 11:31) Williams Wol...
показано 5 из 7 показать еще 2
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,403
×345
×50
×36
×19

задан
14 Июл '18 0:16

показан
413 раз

обновлен
14 Июл '18 11:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru