Классифицировать группы порядка 38.

задан 17 Июл 2:55

10|600 символов нужно символов осталось
2

Группы порядка 2p, где p -- простое нечётное, или циклические, или диэдральные D_p.

Для абелевых групп цикличность очевидна. Пусть G -- неабелева группа порядка 2p. В ней есть элемент a порядка p. Пусть H={e,a,a^2,...,a^{p-1}} -- его циклическая подгруппа. Возьмём произвольный элемент b из G \ H. Ясно, что G=H U bH. Понятно, что b^2 не принадлежит bH. Значит, b^2=a^k для некоторого k. Если b^2 не равно e, то k не равно 0. Отсюда a^k будет порождающим H, и тогда все элементы G суть степени b. Это даёт противоречие.

Следовательно, b^2=e для всех элементов из bH (ввиду произвольности b). В частности, (ba)^2=1. Это равносильно тому, что ab=(ab)^{-1}=b^{-1}a^{-1}=ba^{-1}. Отсюда a^{s}b=ba^{-s}, и таблица умножения для элементов множества H U bH восстанавливается однозначно. Таким образом, неабелева группа порядка 2p с точностью до изоморфзма максимум одна. А пример такой есть -- это D_p.

По-моему, похожее рассуждение в какой-то из задач уже было.

ссылка

отвечен 17 Июл 3:25

Действительно - math.hashcode.ru/questions/150179/

А зачем нужно a^{s}b=ba^{-s}? D_p порождена a,b с соотношениями a^1, b^2=1, abab=1, а про них уже было сказано.

И почему нет других соотношений?

(6 Авг 2:27) Slater

@Slater: другие соотношения в принципе всегда есть -- это всевозможные алгебраические следствия того, что уже было отмечено. Соотношение a^{s}b=ba^{-s} нужно для того, чтобы однозначно восстановить таблицу умножения на множестве e,a,...,a^{p-1},b,ba,...,ba^{p-1}. Косвенно это как раз и означает, что мы всё учли.

Тот факт, что группа диэдра имеет задание a^p=b^2=(ba)^2=1 с помощью образующих и соотношений -- он, конечно, известен, но доказательство там такое же, потому что встаёт та же проблема, что нами всё учтено.

(6 Авг 9:47) falcao

А то, что множество H u bH является группой следует из предположения, что G - группа?

(6 Авг 22:44) Slater

@Slater: H имеет порядок p, то есть имеет индекс 2. Значит, есть второй смежный класс bH, и эти два класса исчерпывают всё группу G.

(6 Авг 22:48) falcao

Да, G = H u bH, но всё же это равенство выполнено как равенство множеств, и для меня немого мутно звучит заключение, что если два множества равны и одно из них является группой по предположению, то и второе является группой. На G в явном виде операция не задана, и надо еще по крайней мере задать операцию на H u bH, чтобы говорить, что это группа. Но как ее задать, если на G какая-то абстрактная операция, непонятно.

(6 Авг 23:16) Slater

@Slater: G является группой по условию, и мы знаем, из каких элементов состоит это множество. Остаётся понять, как умножаются эти элементы согласно операции в G. Мы знаем, что a^{k}a^{m}=a^{k+m}. Также мы знаем, что b^2=e и (ba)^2=e в случае неабелевой группы. Этого достаточно, чтобы однозначно определить результат умножения каждого элемента из G=H U bH на каждый, что и делается в решении.

(7 Авг 0:18) falcao
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,779

задан
17 Июл 2:55

показан
106 раз

обновлен
7 Авг 0:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru