|
$% f(x) = ch(\frac{x}{2}) $% на интервале $%[0; \pi]$% . Насколько я понимаю, надо начать с разложения в ряд Фурье функций $%e^x$% и $%e^{-x}$% , поскольку $% ch({x}) = \frac{e^x+e^{-x}}{2}$%. Каков алгоритм следующих действий? задан 14 Апр '13 15:46 
Назар |
|
Функция, продолженная четным образом, равна $$f_1(x)=\operatorname{ch}{\dfrac{x}{2}}, \quad x\in[-\pi,\,\pi],$$ а функция, продолженная нечетным образом, соответственно $$f_2(x)=\begin{cases} -\operatorname{ch}{\dfrac{x}{2}}, & x\in[-\pi,\,0], \\ \operatorname{ch}{\dfrac{x}{2}}, & x\in[0,\,\pi]. \end{cases} $$ Для разложения в ряд Фурье $$ f_i(x)\sim\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_k\cos{kx}+b_k\sin{kx}} $$ надо найти коэффициенты Фурье $$ a_0 = \dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f_i(x)\,dx}\\ a_k = \dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f_i(x)\cos{kx}\,dx}\\ b_k =\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^{\pi}{f_i(x)\sin{kx}\,dx} $$ для каждой из функций $%f_i\;\;\; (i=1,2),$% используя интегрирование по частям. отвечен 14 Апр '13 16:30 
Mather |
|
Можно взять за основу отрезок $%[-\pi,\pi]$% и разложить на нём функцию $%e^{x/2}$% в ряд Фурье. Поскольку $%e^{x/2}$% есть сумма чётной функции $%\cosh(x/2)$% и нечётной функции $%\sinh(x/2)$%, достаточно будет вычислить коэффициенты $%a_0$% и $%a_n$% ($%n\ge1$%). Это будет чётная составляющая функции $%e^{x/2}$%. Коэффициент $%a_0$% находится просто (его потом надо не забыть разделить на $%2$%), а коэффициенты $%a_n$% вычисляются при помощи интегрирования по частям дважды, после чего они выражаются сами через себя, и далее легко находятся. В ответе получается $$f(x)=\cosh\frac{x}2=\frac{e^{\pi/2}-e^{-\pi/2}}{\pi}\cdot\left(1+2\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n\cos nx}{4n^2+1}\right).$$ Это же разложение в ряд имеет место и на отрезке $%[0,\pi]$%. отвечен 14 Апр '13 17:08 
falcao |