Доказать, что конечная группа порядка более 2 имеет нетривиальный автоморфизм.

Если порядок простой, то группа циклическая, и у нее есть нетривиальный автоморфизм.

Если порядок не простой и группа абелева, то она есть произведение циклических, и автоморфизм тоже есть.

Но если порядок не простой и группа не абелева, то непонятно.

задан 17 Июл '18 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

Здесь можно не предполагать конечности группы.

Если группа неабелева, то в ней есть элемент $%g$%, который коммутирует не со всеми элементами группы. Тогда внутренний автоморфизм $%x\to g^{-1}xg$% нетривиален.

Пусть группа абелева. Тогда $%x\mapsto x^{-1}$% есть автоморфизм. Допустим, что он тривиален. Тогда группа удовлетворяет тождеству $%x^2=e$%. В аддитивной записи это будет $%2x=0$%. Получается модуль над полем $%\mathbb Z_2$%, то есть векторное пространство. Если в группе более двух элементов, то размерность пространства больше 1. Тогда перестановка двух базисных векторов даёт автоморфизм.

ссылка

отвечен 17 Июл '18 23:50

@falcao, можно ли после вывода о том, что $%\forall x\in G:\ x^2=e$% продолжить так:

Тогда $%G\cong\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2\times...\times \mathbb{Z}_2$%. Тогда элементы $%(1,0,0,...,0)$% и $%(0,1,0,...,0)$% можно перевести друг в друга внешним автоморфизмом. ?

(5 Апр 22:55) make78
1

@make78: это фактически то же самое -- просто Вы конкретизировали, какие именно два базисных вектора переставляются. Тут важно, чтобы в базисе было хотя бы два элемента, то есть размерность >=2. И для бесконечных групп всё то же самое, хотя там уже явного вида не указать.

(5 Апр 23:11) falcao

@falcao, а если для бесконечных групп не указать явного вида, то как формально доказать?

(5 Апр 23:13) make78
1

@make78: у всякого векторного пространства есть базис. Если при этом |G| > 2, то базис имеет по крайней мере два элемента. Тогда их можно переставить, оставляя другие базисные элементы на месте. Это будет автоморфизм векторного пространства, а также автоморфизм группы по сложению. Всё это было сказано в ответе.

(5 Апр 23:53) falcao

@falcao, понял, благодарю!

(6 Апр 11:37) make78

@falcao, а как можно доказать, что если в группе все элементы, кроме единицы, имеют порядок 2, то эта группа изоморфна $%\mathbb{Z}_2\times...\times\mathbb{Z}_2$%?

(7 Апр 14:29) make78
1

@make78: аддитивная группа с тождеством 2x=0 является векторным пространством над полем Z2. В этом пространстве есть базис. Если он состоит из n элементов, то пространство над полем k есть прямая сумма одномерных, каждое из которых как группа изоморфна k (аддитивной группе поля). То есть над R мы имели бы R^n, а здесь будет Z2^n.

(7 Апр 14:35) falcao

@falcao, не увидел Вашего ответа сразу. Благодарю!

(8 Апр 12:12) make78
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,454

задан
17 Июл '18 23:38

показан
212 раз

обновлен
8 Апр 12:12

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru