|
Дана произвольная трапеция ABCD , площадь которой равна S. Середина основания AD - точка P. Диагонали пересекаются в точке O. ВP и CP пересекают диагонали в точках M и N соответсвенно. Найдите площадь треугольника MON. задан 14 Апр '13 20:45 
SenjuHashirama |
|
Тут кроме площади нужно ещё отношение длин оснований учитывать. Пусть одно из оснований равно $%x$%, а второе, которое разделено на две части точкой $%P$%, равно $%2y$%. Из подобия треугольников, отношение $%PM:MB$% равно $%y:x$%. Поэтому $%PM:PB=y:(x+y)$%, откуда $%MN:BC=y:(x+y)$%, то есть $%MN=xy/(x+y)$%. Обозначим через $%h$% высоту трапеции. Тогда высоты треугольников $%BOC$% и $%AOD$% относятся как длины оснований, то есть как $%x:(2y)$%. Это значит, что высота второго из треугольников равна $%2yh/(x+2y)$%, а его площадь равна $%2y^2h/(x+2y)$%. С учётом того, что $%2S=(x+2y)h$%, площадь $%AOD$% равна $%4y^2S/(x+2y)^2$%. Отношение площади треугольника $%MON$% к площади $%AOD$% равно квадрату отношения $%MN:AD$%, а это $%x^2/(4(x+y)^2)$%. Перемножая найденные величины, приходим к выводу, что площадь треугольника $%MON$% равна $$\frac{x^2y^2S}{(x+y)^2(x+2y)^2}=\frac{S}{(1+y/x)^2(2+x/y)^2}.$$ отвечен 14 Апр '13 22:50 
falcao а из подобия каких треугольников следует то , что PM/MB=y/x ?
(14 Апр '13 22:57)
SenjuHashirama
Из подобия $%AMP$% и $%CMB$% следует, что $%PM:BM=AP:CB=y:x$%.
(14 Апр '13 23:08)
falcao
ясно , спасибо
(14 Апр '13 23:10)
SenjuHashirama
|
Данных для нахождения площади треугольника $%MON$%, указанных в условии, явно недостаточно. Ответ существенно зависит от отношения оснований.
странно , ну тогда пусть нижнее основание b , а верхние a