Дана произвольная трапеция ABCD , площадь которой равна S. Середина основания AD - точка P. Диагонали пересекаются в точке O. ВP и CP пересекают диагонали в точках M и N соответсвенно. Найдите площадь треугольника MON.

задан 14 Апр '13 20:45

изменен 14 Апр '13 21:43

Данных для нахождения площади треугольника $%MON$%, указанных в условии, явно недостаточно. Ответ существенно зависит от отношения оснований.

(14 Апр '13 21:55) falcao

странно , ну тогда пусть нижнее основание b , а верхние a

(14 Апр '13 22:11) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
2

Тут кроме площади нужно ещё отношение длин оснований учитывать.

Пусть одно из оснований равно $%x$%, а второе, которое разделено на две части точкой $%P$%, равно $%2y$%. Из подобия треугольников, отношение $%PM:MB$% равно $%y:x$%. Поэтому $%PM:PB=y:(x+y)$%, откуда $%MN:BC=y:(x+y)$%, то есть $%MN=xy/(x+y)$%.

Обозначим через $%h$% высоту трапеции. Тогда высоты треугольников $%BOC$% и $%AOD$% относятся как длины оснований, то есть как $%x:(2y)$%. Это значит, что высота второго из треугольников равна $%2yh/(x+2y)$%, а его площадь равна $%2y^2h/(x+2y)$%. С учётом того, что $%2S=(x+2y)h$%, площадь $%AOD$% равна $%4y^2S/(x+2y)^2$%.

Отношение площади треугольника $%MON$% к площади $%AOD$% равно квадрату отношения $%MN:AD$%, а это $%x^2/(4(x+y)^2)$%. Перемножая найденные величины, приходим к выводу, что площадь треугольника $%MON$% равна $$\frac{x^2y^2S}{(x+y)^2(x+2y)^2}=\frac{S}{(1+y/x)^2(2+x/y)^2}.$$

ссылка

отвечен 14 Апр '13 22:50

а из подобия каких треугольников следует то , что PM/MB=y/x ?

(14 Апр '13 22:57) SenjuHashirama

Из подобия $%AMP$% и $%CMB$% следует, что $%PM:BM=AP:CB=y:x$%.

(14 Апр '13 23:08) falcao

ясно , спасибо

(14 Апр '13 23:10) SenjuHashirama
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,300

задан
14 Апр '13 20:45

показан
372 раза

обновлен
14 Апр '13 23:10

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru