Назовём натуральное число газоразрядным, если сумма его семеричных цифр не изменяется при умножении числа на любое натуральное число, не превышающее $%7^7$%.

Найдите хотя бы одно газоразрядное число.

задан 19 Июл '18 15:43

10|600 символов нужно символов осталось
5

$%7^7-1$% - газорозрядное. Доказательство. Через $%s(n)$% обозначим сумму семеричных цифр числа $%n$%. Пусть $%0 \le x \le 7^7-1$% . Нам надо доказать, что $%s((7^7-1)(7^7-x))=s(7^7-1)$%. Имеем, что $%(7^7-1)(7^7-x)=7^7(7^7-1-x)+x$%. Видно, что при сложении чисел $%7^7(7^7-1-x)+x$% разряды одного числа не влияют на разряды второго, ибо первое заканчивается семью нулями, а $%x$% содержит не более семи цифр. Поэтому $%s((7^7-1)(7^7-x))=s(7^7(7^7-1-x))+s(x)=s(7^7-1-x)+s(x)$%. С другой стороны, число $%7^7-1$% в семеричной записи состоит из одних шестерок. Поэтому $%s(7^7-1-x)=s(7^7-1)-s(x)$%. Вот и все.

ссылка

отвечен 19 Июл '18 16:45

изменен 19 Июл '18 16:52

@Witold2357, большое спасибо! А у меня ума не хватило так решить, пришлось процедурку нацарапать: [syntax lang="javascript"]function sumDig (n, base) { let sum = 0; while (n) { sum += n % base; n = (n - n % base) / base; } return sum; }

function fun(rangMin, rangMax, base, mulMin, mulMax) { for (let i = rangMin; i <= rangMax; i++) { for (let j = mulMin; j <= mulMax; j++) { if (sumDig(i, base) != sumDig(i*j, base)) break; if (j == mulMax) console.log(i);

   }

}

} fun (1, 999999, 7, 2, 823543);[/syntax]

(19 Июл '18 23:09) Казвертеночка

@Witold2357, только процедурка эта здесь не отображается, к сожалению...

(19 Июл '18 23:11) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,405
×53

задан
19 Июл '18 15:43

показан
408 раз

обновлен
19 Июл '18 23:11

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru