Пусть $%R$% - коммутативное кольцо с 1, содержащее ровно 3 идеала.

  1. Доказать, что любой ненулевой элемент либо единица, либо делитель нуля.
  2. Верно ли обратное?

Если есть ровно 3 идеала, то они $%(0),I,(1)$%. Если $%a\ne 0$%, то либо $%(a)=(1)$% (и тогда он обратим), либо $%(a)=I$%. Предположим второе. Докажем, что если $%a$% не делитель нуля, то он обратим. Пусть он не делитель нуля. Тогда $%a^2\ne 0$%, и $%(a^2)=(1)$% или $%(a^2)=(a)$%. В первом случае $%a$% обратим. Во втором случае $%a=a^2r\iff a(ar-1)=0\implies ar=1$% т.к. $%a$% не делитель нуля, и $%a$% обратим.

Это верно? Во втором контпример строится?

задан 19 Июл 23:55

1

По-моему, всё верно.

Контрпримером может служить кольцо вычетов Z_6. Идеалы там -- обычные абелевы подгруппы, и их больше трёх, так как есть (2) и (3). Элементы 1, 5 обратимы, 2, 3, 4 -- делители нуля.

(20 Июл 0:14) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Знаете, кто может ответить? Поделитесь вопросом в Twitter или ВКонтакте.

Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,631

задан
19 Июл 23:55

показан
24 раза

обновлен
7 Авг 6:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru