Сумма цифр факториала числа $%n>1$% в позиционной системе счисления с основанием $%n$% для первых 15 значений $%n$% (с 2 по 16) выглядит так:

1 2 3 8 5 12 14 16 27 30 11 48 26 42 45

Эти значения получены с помощью маленькой процедурки, нацарапанной на ЖабаСквирт, но здесь публиковать код не буду, так как он не отображается как следует.

Ясно, что последовательность возрастает как минимум линейно, поскольку для каждого $%n>1$% сумма обязана быть кратной $%n-1$%. Однако в большинстве случаев эта сумма не равна $%n-1$%, а в несколько раз её превосходит. Так как же тем не менее оценить скорость возрастания этой последовательности?

задан 20 Июл '18 1:39

изменен 20 Июл '18 1:44

1

Вот что выдал Maple для чисел от 2 до 100:

1, 1, 1, 2, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 1, 4, 2, 3, 3, 5, 4, 7, 6, 7, 8, 9, 6, 9, 10, 8, 8, 13, 9, 12, 9, 8, 13, 15, 9, 12, 12, 11, 10, 13, 13, 12, 14, 13, 17, 15, 14, 17, 16, 15, 21, 19, 17, 19, 19, 22, 19, 23, 16, 25, 20, 19, 19, 24, 22, 25, 27, 26, 21, 29, 16, 30, 29, 29, 23, 28, 29, 34, 21, 28, 33, 36, 29, 30, 30, 34, 34, 36, 21, 32, 34, 33, 37, 29, 27, 39, 32, 38, 37

Здесь уже осуществлено деление на n-1. Какой-либо закономерности не прослеживается.

(20 Июл '18 2:29) falcao

@falcao, Вас не затруднит код на Maple выложить? С прошлого месяца я учусь программировать, в моих планах освоить и Maple.

(20 Июл '18 9:20) Казвертеночка
1

Вы бы лучше Python попробовали, самый простой язык.

(20 Июл '18 11:18) Williams Wol...
1

@Казвертеночка: я ту программу не сохранил, но она за пару минут пишется. Попробую сейчас написать снова и поместить. Там много готовых процедур, так что это всё и пишется, и работает без проблем.

(20 Июл '18 11:20) falcao
1

sc:=proc(n)

local i,z:

z:=convert(n!,base,n):

add(z[i],i=1..nops(z))

end:

seq(sc(n),n=2..20);

1,2,3,8,5,12,14,16,27,30,11,48,26,42,45,80,68,126,114

После деления на n-1 там величина имеет порядок n/3 или около того. Оценить эмпирически можно из соображений того, что набор цифр "случаен".

(20 Июл '18 11:25) falcao

@falcao, большое спасибо!

(21 Июл '18 2:10) Казвертеночка
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
4

Взгляните на эту последовательность 0,0, -5, 1,1,1,1,2,2,3,1,4,4,3,4,5, 4,6,5,6,7,8,5,7,8,8,8,10, 7,11,9,11,11,10,9,13, 13,13,10,15,13,16,14, 12,16,17,13,16,16,18, 18,20,16,18,17,20,21, 22,16,23,23,19,20,22, 22,25,24,25,22,27,19, 28,28,25,27,26,29,30, 22,27,31,32,33,31,33, 34,30,34,25. Она при $%n \ge 5$% мало чем отличается от последовательности, приведенной fаlcаo. Последовательность, которую я записал, имеет вид $%a_n=[0.5(n+1.5-\frac{n}{\ln n}-f(n))]$%, где $%f(n)$% - количество нулей, на которые заканчивается запись числа $%n!$%. Получил я эту формулу, предположив, что все цифры равновероятны за исключением последних нулей. Также я применял формулу Стирлинга. Поэтому оценка к вашей задаче может иметь вид $%(n-1)[0.5(n+1.5-\frac{n}{\ln n}-f(n))]$%. Задача сводится к тому, чтобы оценить $%f(n)$%, что должно быть проще. Ясное дело, что такие рассуждения годятся для хорошей гипотезы, а еще же строгость наводить.

ссылка

отвечен 20 Июл '18 22:24

@Witold2357, большое спасибо!

(21 Июл '18 2:10) Казвертеночка
1

Количество нулей в факториале можно выразить через формулу Лежандра. $% f(n) = \sum\limits_{k = 1}^{n} [\frac{n!}{5^k}] $%, где [] - целая часть числа.

(21 Июл '18 3:13) Williams Wol...
1

@Williams Wol...: это формула для десятичной системы.

(21 Июл '18 4:23) falcao
1

Ее несложно обобщить на другие системы счисления

(21 Июл '18 5:11) Williams Wol...
1

@Williams Wol...: там работает та же известная идея, но специфика формулы зависит от специфики n. Скажем, если n простое, то факториал делится только на n в степени 1. И в общем случае сразу не ясно, какой из множителей "главнее". В десятичной системе это 5, а для чисел типа 24 надо проверять, что больше влияет: 2 или 3. Кстати, в формуле там n в числителе должно быть, а не факториал.

(21 Июл '18 11:19) falcao
1

Дa, это о6eчaтka.

(21 Июл '18 13:27) Williams Wol...
показано 5 из 6 показать еще 1
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,219
×106
×64
×44
×9

задан
20 Июл '18 1:39

показан
256 раз

обновлен
21 Июл '18 13:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru