На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат (т.е. AB – сторона этого квадрата). Пусть O – центр квадрата. Докажите, что отношение длины AO к сумме катетов AC + CB есть величина постоянная для всех прямоугольных треугольников и найти это отношение.

задан 7 Фев '12 17:55

изменен 7 Фев '12 18:52

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

2

Уважаемый @кто, олимпиадные задачи следует решать самому ради собственной же пользы. Если кто-нибудь и решит для Вас пару другую задач, то ввиду их нетривиальности (олимпиадные!) никакого знания и умения у Вас не прибавится. Хум, я сказал!

(7 Фев '12 18:41) BuilderC

браво)))))

(7 Фев '12 20:20) кто
10|600 символов нужно символов осталось
4

Совершенно согласен с уважаемым @ASailyan, утверждение неверно. В доказательство привожу свой вариант опровержения этого утверждения. Хотя контр - пример @ASailyan говорит сам за себя.

Итак, с теоремой Пифагора спорить трудно, поэтому запишем

$$AC^2+BC^2=AB^2$$

Далее, очевидное соотношение из рассмотрения квадрата

$$AO \ast \sqrt{2}=AB$$

Подставим AB в теорему Пифагора

$$AB^2+BC^2=2 \ast AO^2$$

Добавим к обеим частям $%2 \ast AC \ast BC$%

$$(AB+BC)^2=2 \ast AO^2+2 \ast AC \ast BC$$

Разделим обе части на $%(AB+BC)^2$%

$$1=2 \left (\frac {AO}{AC+BC} \right)^2+2 \frac {AC \ast BC}{(AB+BC)^2}$$

Выразим искомый комплекс

$$\frac {AO}{AC+BC}=\sqrt{0.5-\frac {AC \ast BC}{(AB+BC)^2}}$$

Очевидно, что правая часть не постоянная величина для любого прямоугольного треугольника, а значит, доказать утверждение задачи не представляется возможным. Все. Спасибо за внимание.

ссылка

отвечен 8 Фев '12 22:31

изменен 13 Фев '12 11:14

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

большое спасибо) но вы тут немного буквы перепутали , начиная с теоремы Пифагора) а так большое спасибо)

(12 Фев '12 18:36) кто

я все равно нашла это отношение) почему вы доказываете обратное....

(12 Фев '12 18:56) кто

Да, признаю, буквы попутал. Хотелось бы узнать, чему же оно равно и посмотреть на ваше решение.

(12 Фев '12 22:55) Механик

А я думаю, что буквы перепутал @кто, потому что, если AB гипотенуза, тогда постоянной будет отношение CO/(AC+BC).Это действительно легко доказать. Ну кто может доказать то, чего не может быть?

(13 Фев '12 0:26) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если обозначить катеты а и b, то $%AO=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)}$%, a $%AC+BC=a+b$%. При $%a=b=1$%, имеем $%AO/(AB+BC)=0,5$% а при $%a=3, b=4$% имеем $%AO=5 \sqrt{2}/2$%. В первой примере отношение рациональное, а во второй- иррациональное, и они не могут быть равними. Значит утверждение задачи не верно.

ссылка

отвечен 7 Фев '12 22:55

изменен 12 Май '12 13:03

спасибо за ваше решение, но ведь не я придумала условие этой задачи. и скорее всего, утверждение в этой задаче верно.

(8 Фев '12 19:38) кто

@кто, Вы кто? Я всё время предполагал, что Вы - мужчина! Вижу теперь, что я крупно ошибся. Хорошо, что у нас по глаголу прошедшего времени можно определить пол... Эйнштейн говорил, что даже если теория подтверждается сотней опытов, но 101-ый не подтверждает её, теория не верна!

(5 Окт '12 22:27) nikolaykruzh...
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,396

задан
7 Фев '12 17:55

показан
1334 раза

обновлен
5 Окт '12 22:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru