|
На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC во внешнюю сторону построен квадрат (т.е. AB – сторона этого квадрата). Пусть O – центр квадрата. Докажите, что отношение длины AO к сумме катетов AC + CB есть величина постоянная для всех прямоугольных треугольников и найти это отношение. задан 7 Фев '12 17:55 
кто |
|
Совершенно согласен с уважаемым @ASailyan, утверждение неверно. В доказательство привожу свой вариант опровержения этого утверждения. Хотя контр - пример @ASailyan говорит сам за себя. Итак, с теоремой Пифагора спорить трудно, поэтому запишем $$AC^2+BC^2=AB^2$$ Далее, очевидное соотношение из рассмотрения квадрата $$AO \ast \sqrt{2}=AB$$ Подставим AB в теорему Пифагора $$AB^2+BC^2=2 \ast AO^2$$ Добавим к обеим частям $%2 \ast AC \ast BC$% $$(AB+BC)^2=2 \ast AO^2+2 \ast AC \ast BC$$ Разделим обе части на $%(AB+BC)^2$% $$1=2 \left (\frac {AO}{AC+BC} \right)^2+2 \frac {AC \ast BC}{(AB+BC)^2}$$ Выразим искомый комплекс $$\frac {AO}{AC+BC}=\sqrt{0.5-\frac {AC \ast BC}{(AB+BC)^2}}$$ Очевидно, что правая часть не постоянная величина для любого прямоугольного треугольника, а значит, доказать утверждение задачи не представляется возможным. Все. Спасибо за внимание. отвечен 8 Фев '12 22:31 
Механик большое спасибо) но вы тут немного буквы перепутали , начиная с теоремы Пифагора) а так большое спасибо)
(12 Фев '12 18:36)
кто
я все равно нашла это отношение) почему вы доказываете обратное....
(12 Фев '12 18:56)
кто
Да, признаю, буквы попутал. Хотелось бы узнать, чему же оно равно и посмотреть на ваше решение.
(12 Фев '12 22:55)
Механик
|
|
Если обозначить катеты а и b, то $%AO=\frac{1}{2}\sqrt{2(a^2+b^2)}$%, a $%AC+BC=a+b$%.
При $%a=b=1$%, имеем $%AO/(AB+BC)=0,5$% а при $%a=3, b=4$% имеем $%AO=5 \sqrt{2}/2$%. В первой примере отношение рациональное, а во второй- иррациональное, и они не могут быть равними. Значит утверждение задачи не верно. отвечен 7 Фев '12 22:55 
ASailyan спасибо за ваше решение, но ведь не я придумала условие этой задачи. и скорее всего, утверждение в этой задаче верно.
(8 Фев '12 19:38)
кто
@кто, Вы кто? Я всё время предполагал, что Вы - мужчина! Вижу теперь, что я крупно ошибся. Хорошо, что у нас по глаголу прошедшего времени можно определить пол... Эйнштейн говорил, что даже если теория подтверждается сотней опытов, но 101-ый не подтверждает её, теория не верна!
(5 Окт '12 22:27)
nikolaykruzh...
|
Уважаемый @кто, олимпиадные задачи следует решать самому ради собственной же пользы. Если кто-нибудь и решит для Вас пару другую задач, то ввиду их нетривиальности (олимпиадные!) никакого знания и умения у Вас не прибавится. Хум, я сказал!
браво)))))