Не пользуясь вычислительной техникой, найдите все натуральные числа, которые ровно в 2018 раз больше суммы своих цифр в позиционной системе счисления с основанием 2018. И докажите, что других нет.

задан 21 Июл '18 15:27

1

По-моему, тут можно рассуждать по аналогии с десятичной системой. Если число в 10 раз больше суммы цифр, то оно делится на 10, и при списании 0 на конце получается число, равное сумме цифр, то есть это цифра. Поэтому число принимает значения 10, 20, ... , 90. Для g-ичной системы будет, соответственно, g, 2g, 3g, ... , (g-1)g.

(21 Июл '18 20:11) falcao

@falcao, большое спасибо!

(21 Июл '18 23:31) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
3

$%k$%-тая цифра числа $%x$% равна $%[x/2018^{k-1}]-2018[x/2018^k]$%. Поэтому сумма цифр числа $%x$% равна $%\sum \limits_{k=1}^{\infty} ([x/2018^{k-1}]-2018[x/2018^k])=x-2017 \sum \limits_{k=1}^{\infty} [x/2018^k]$%. Пусть $%x$% удовлетворяет условию задачи. Получим, что $%x=2018 \sum \limits_{k=1}^{\infty} [x/2018^k]$%, откуда $%\{x/2018\}=\sum \limits_{k=2}^{\infty} [x/2018^k]$%. Отсюда легко следует, что $%x<2018^2$% и $%\{x/2018\}=0$%. Следовательно, $%x=2018, 2 \cdot 2018, 3 \cdot 2018, ..., 2017 \cdot 2018$%.

ссылка

отвечен 21 Июл '18 18:59

изменен 21 Июл '18 20:27

1

@Witold2357: там будут ещё кратные 2018 (после умножения на "цифру" от 1 до 2017).

(21 Июл '18 20:12) falcao

@Witold2357, @falcao, большое спасибо!

(21 Июл '18 23:30) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×952
×220
×95
×41
×14

задан
21 Июл '18 15:27

показан
120 раз

обновлен
21 Июл '18 23:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru