геометрия - Разбиение треугольника

Это не доказательство. Просто рассуждение. Если бы задача стояла разбить равносторонний треугольник на какое-то заданное количество ОДИНАКОВЫХ равносторонних треугольников, то решение сводилось бы к следующему - на n-том шаге мы бы получали 2^(2n) равносторонних треугольников по простому принципу - соединяли бы отрезками прямых середины сторон каждого треугольника, тогда на первом шаге получили бы 4, на втором 16 и так далее. Но, к сожалению, формулировка не говорит о том, что треугольники должны быть одинаковыми, и число 2012, к сожалению не является степенью двойки. Спасибо за внимание.

А вот, кажется, и доказательство. Не используя тот факт, что все треугольники одинаковы. Для начала хочу отметить, что мы можем получать из любого треугольника 2^(2n) треугольников, применяя к нему алгоритм описанный выше n раз. Кроме этого, мы можем стереть в любом треугольнике (который уже разбит на 4 треугольника отрезками прямых, соединяющих середины сторон) эти самые отрезки, тем самым убрав из общей суммы 3 треугольника (четыре внутренних уйдут, но один большой, породивший их останется). Итого, задача собрать сумму 2012 путем добавления в нее слагаемых, являющихся четной степенью двойки (разбиение по алгоритму) и, возможно, вычитая из суммы число, кратное трем (стирая внутренние отрезки). Решение. Сначала разбиваем треугольник на 1024 (5 раз применили алгоритм), далее, берем любые 3 из 1024 и разбиваем каждый на 256 (применим алгоритм 4 раза),плюс берем из тех же 1024 любые 4 и разбиваем каждый на 64 (применим алгоритм 3 раза) итого получим 2048 треугольников, а нам нужно 2012, но 2048-2012=36, а 36 кратно трем.Тогда выбираем любые 12 треугольников, содержащих в себе по 4, и стираем в них отрезки, которые разбивают их. получится, что из суммы (2048) мы убрали 12*3=36, что есть 2012. Все. А если проще (2^10+3(2^8)+4(2^6))-36=2012.Теперь точно все.

Есть такая разбивка. делим одну сторону на 1006 равных отрезков. Строим на каждом отрезке равносторонний треугольник во внутреннюю сторону разбиваемого. Получаем 1006 треугольников. соединяем их новые вершины - получаем 1005 новых треугольников (на 1 меньше, потому что новые вершины треугольников из предыдущего пункта лежат на сторонах основного треугольника). остальная часть - тоже равносторонний треугольник (набор отрезков лежит на одной прямой - из равенства треугольников 1 пункта, боковые стороны равны, значит все углы 60 градусов, значит равносторонний).

В принципе, задача простая: равносторонний треугольник таким образом можно раскроить на любое (четное, больше 2х) количество неравных равносторонних.