самообразование - Как доказать, что существует число Фибоначчи, оканчивающееся на 9999?

В задаче спрашивается может ли число Фибоначчи заканчиватся на $%k=4$% девятки. Может. Более того, для произвольного натурального $%k$% найдется число Фибоначчи, которое заканчивается на $%k$% девяток. Доказательство. Символом $%\pi(n)$% я буду обозначать период Пизано по модулю $%n$%, а символом $%F_n$% - $%n$%-ое число Фибоначчи. Тогда для произвольного натурального $%n$%: $%F_{\pi(10^k) \cdot n-2} \equiv F_{-2}=-1 \; (\mod \: 10^k)$% . Вот, и все доказано. Дополнительно можно вычислить период Пизано: если $%k \ge 3$%, то $%\pi(10^k)=15 \cdot 10^{k-1}$%. Поэтому в комментариях вам написали неправильные номера чисел Фибоначчи (на единичку ошиблись). Номера будут $%15000 \cdot n-2$%.

P.S. Касательно вопроса о том любая ли может быть последовательность цифр. Скорее всего, не любая (лень проверять на компьютере). На первый взгляд, период Пизано всегда (при любом $%k$%) в полтора раза больше числа всевозможных окончаний чисел Фибоначчи и поэтому, на первый взгляд, казалось бы, что должны встречатся всевозможные окончания числа. Но в пределах одного периода Пизано остатки могут повторятся. Поэтому лучше поискать контпример на компьютере.

Р.S. Ответ на комментарий "смотря как определять". Числа Фибоначчи надо и можно определять только так, как их все определяют во всей современной литературе. Всюду F1=F2=1. А если вы хотите их определять иначе, то вы не имеете права называть их числами Фибоначчи.