Как доказать, что существует число Фибоначчи, оканчивающееся на 9999? И вообще, для любой ли последовательности цифр существует число Фибоначчи, оканчивающееся на эту последовательность?

задан 25 Июл 11:23

1

что любопытно, что эти числа имеют закономерность явную 14997 29997 44997 59997 74997 89997, номера членов которые оканчиваются на 9999

(25 Июл 13:32) Williams Wol...

@Williams Wol..., ну а без компа, как доказать, чисто математически?

(25 Июл 16:20) Казвертеночка
1

Если бы я знал, я бы ответил, точнее я уже знаю, нашел на англоязычном форуме, но будет любопытно посмотреть решения наших коллег русскоязычных.

(25 Июл 16:30) Williams Wol...
1

эта последовательность по модулю $% n $% циклическая - $%... ,n-1, 1 , 0, 1 , ... $%. берем $% n= 10000 $% ))

(25 Июл 18:18) Sergic Primazon
10|600 символов нужно символов осталось
2

В задаче спрашивается может ли число Фибоначчи заканчиватся на $%k=4$% девятки. Может. Более того, для произвольного натурального $%k$% найдется число Фибоначчи, которое заканчивается на $%k$% девяток. Доказательство. Символом $%\pi(n)$% я буду обозначать период Пизано по модулю $%n$%, а символом $%F_n$% - $%n$%-ое число Фибоначчи. Тогда для произвольного натурального $%n$%: $%F_{\pi(10^k) \cdot n-2} \equiv F_{-2}=-1 \; (\mod \: 10^k)$% . Вот, и все доказано. Дополнительно можно вычислить период Пизано: если $%k \ge 3$%, то $%\pi(10^k)=15 \cdot 10^{k-1}$%. Поэтому в комментариях вам написали неправильные номера чисел Фибоначчи (на единичку ошиблись). Номера будут $%15000 \cdot n-2$%.

P.S. Касательно вопроса о том любая ли может быть последовательность цифр. Скорее всего, не любая (лень проверять на компьютере). На первый взгляд, период Пизано всегда (при любом $%k$%) в полтора раза больше числа всевозможных окончаний чисел Фибоначчи и поэтому, на первый взгляд, казалось бы, что должны встречатся всевозможные окончания числа. Но в пределах одного периода Пизано остатки могут повторятся. Поэтому лучше поискать контпример на компьютере.

Р.S. Ответ на комментарий "смотря как определять". Числа Фибоначчи надо и можно определять только так, как их все определяют во всей современной литературе. Всюду F1=F2=1. А если вы хотите их определять иначе, то вы не имеете права называть их числами Фибоначчи.

ссылка

отвечен 25 Июл 18:01

изменен 25 Июл 18:24

1

Смотря как определять

(25 Июл 18:17) Williams Wol...
1

Не любая, об этом сказано на англоязычном ресурсе.

(25 Июл 18:17) Williams Wol...
1

Согласен, почему-то думал, что есть два вариации с нулем и без, но он оказывается просто как F(0) = 0, иногда включается.

(25 Июл 18:40) Williams Wol...

@Witold2357, @Williams Wol..., большое спасибо обоим!

(25 Июл 23:05) Казвертеночка
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×764
×242
×199
×29
×5

задан
25 Июл 11:23

показан
136 раз

обновлен
25 Июл 23:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru